Toán 8 Chứng minh bất đẳng thức bằng nguyên lý Dirichlet

[AlexisBorjanov]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng [tex](a^{2}-a+1)(b^{2}-b+1)(c^{2}-c+1)[/tex] lớn hơn hoặc bằng 1.
2. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)[/tex]. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Em xin cảm ơn nhiều!

 

[TranPhuong27]

Bài 1:
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số [TEX]a-1,b-1,c-1[/TEX] luôn tồn tại 2 số có cùng dấu với nhau, không giảm tổng quát giả sử [TEX](a-1)(b-1) \geq 0[/TEX]
Ta có: [TEX](a^2-a+1)(b^2-b+1)=ab(a-1)(b-1)+a^2+b^2-a-b+1 \geq \frac{(a+b)^2}{2}-(a+b)+1[/TEX]
Ta cần chứng minh: [TEX](\frac{(a+b)^2}{2}-(a+b)+1)(c^2-c+1) \geq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\frac{(3-c)^2}{2}-(3-c)+1)(c^2-c+1) \geq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (c-1)^2(c^2-3c+3) \geq 0[/TEX] với mọi [TEX]c[/TEX]
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[Lena1315]

Dễ cm [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx\geq 2(xy+yz+zx)[/tex]
=> cần cm: [tex]xy+yz+zx\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}[/tex]
Thật vậy: [tex]xy+yz+zx\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq xyz(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})=x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}[/tex]
Đặt [tex]\sqrt{xy}=a;\sqrt{yz}=b;\sqrt{xz}=c[/tex] thì bdt thành [tex]BDT\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca[/tex] -> luôn đúng -> đpcm