Chứng minh bất đẳng thức bằng cosi

J

janbel

saobangkhoc141999 said:
Cho x,y >0 và x + y [tex]\leq[/tex] 1. C/m [tex] 8(x^4+y^4) + \frac{1}{xy} \geq 5 [/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:
$$8(x^4+y^4)\ge 8\dfrac{(x^2+y^2)^2}{2}=4(x^2+y^2)^2\ge 4[\dfrac{(x+y)^2}{2}]^2=(x+y)^2=1$$
Giờ ta chỉ cần $\dfrac{1}{xy}\ge 4\iff xy\le \dfrac{1}{4}$ là cm được hoàn tất.
BĐT này đúng với AM-GM:
$$xy\le \dfrac{(x+y)^2}{4}=\dfrac{1}{4}$$
Dấu "=" $\iff x=y=z=\dfrac{1}{2}$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom