chứng minh bài toán này giúp em với

[doremon207]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng: SinA + SinB + SinC \leq (3 nhân cănbậc2của3) chia 2
Em không gõ được công thức căn bậc hai trong diễn đàn, mong mọi người thông cảm và sửa giùm cái nhá, thank nhìu.
:-*:-*:-*:-*:-*

 

[silvery93]

e có thể sdụng bất đt jensen
hoặc tách thành 2 nhóm ; thêm pi/3
hoặc cô si

ngại làm quá

 

[doremon207]

Sao mãi chẳng thấy ai vào làm nữa cả thế? Bắt tay vào giải đi chứ.

 

[pmt94]

Kiến thức cần biết: Trong tam giác ABC với BC=a,AC=b,AB=c
- hệ quả định lý sin trong tam giác: [TEX]a+b+c = 2R(sinA + sinB + sinC)[/TEX]
- [TEX]\vec{AB}.\vec{AC}=\frac{1}{2}(AB^2+AC^2-BC^2)[/TEX]
Cách giải

Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có: [TEX](\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})^2 \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow OA^2 + OB^2 + OC^2 + 2\vec{OA}.\vec{OB} + 2\vec{OB}.\vec{OC} + 2\vec{OC}.\vec{OA} \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3R^2 + OA^2 + OB^2 - AB^2 + OB^2 + OC^2 - BC^2 + OA^2 + OC^2 - AC^2 \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 9R^2 \geq a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 27R^2 \geq (a+b+c)^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a+b+c \leq 3\sqrt{3}R[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2R(sinA + sinB + sinC) \leq 3\sqrt{3}R[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sinA + sinB + sinC \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c, khi đó tam giác ABC đều

 

[rua_it]

Ta có bổ đề sau: [tex]sina+sinb \leq 2sin.\frac{a+b}{2} \\ \Rightarrow sinA+sinB+sinC +sin.\frac{A+B+C}{3} \leq 2sin.\frac{A+B}{2}+2sin.\frac{C+\frac{A+B+C}{3}}{2} \leq 4sin.\frac{\frac{A+B}{2}+\frac{C}{2}+\frac{A+B+C}{6}}{2}[/tex]
[tex]=4sin.\frac{A+B+C}{3}[/tex]
[tex] \Rightarrow sinA+sinB+sinC \leq 3sin.\frac{A+B+C}{3} =3sin.60^0=\frac{3}{2}\sqrt{3}(dpcm)[/tex]

- [TEX]\vec{AB}.\vec{AC}=\frac{1}{2}(AB^2+AC^2-BC^2)[/TEX]

Định lý cosin tổng quát