Gọi điểm tiếp xúc với [imath](I)[/imath] trên [imath]CA,AB[/imath] là [imath]F,G[/imath].
Khi đó, vì [imath]ED[/imath] là phân giác của [imath]\Delta EBC[/imath] nên [imath]\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{BG}{FC} \Rightarrow \dfrac{BE}{BG}=\dfrac{EC}{FC}[/imath]
Từ đó [imath]\Delta EBG \sim \Delta ECF[/imath] nên [imath]\widehat{EGB}=\widehat{EFC}[/imath] hay [imath]\widehat{EGA}=\widehat{EFA}[/imath].
Suy ra [imath]AEGF[/imath] nội tiếp. Mà [imath]\widehat{IGA}=\widehat{IFA}=90^o[/imath] nên [imath]AEIF[/imath] nội tiếp. Từ đó [imath]A,E,G,I,F[/imath] cùng nằm trên đường tròn đường kính [imath]AI[/imath].
[imath]\Rightarrow \widehat{AEI}=90^o \Rightarrow \widehat{KEI}=90^o=\widehat{KDI} \Rightarrow KEID nội tiếp[/imath]
Từ đó [imath]\widehat{KID}=\widehat{KED}=\widehat{KEM}=\widehat{ACM}=\widehat{C}+\dfrac{\widehat{A}}{2}[/imath]
Mà [imath]\widehat{BID}=90^o-\dfrac{\widehat{B}}{2}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{C}}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow \widehat{KIB}=\widehat{KID}-\widehat{BID}=\dfrac{\widehat{C}}{2}=\widehat{BCI}[/imath]
Từ đó [imath]\Delta KIB \sim \Delta KCI \Rightarrow KI^2=KB \cdot KC[/imath]
Mà [imath]AECB[/imath] nội tiếp nên [imath]KB \cdot KC=KE \cdot KA \Rightarrow KI^2=KE \cdot KA \Rightarrow \Delta KIA[/imath] vuông tại [imath]A[/imath]
[imath]\Rightarrow \widehat{KIA}=90^o[/imath]
Giờ ta chỉ cần chứng minh [imath]\widehat{AIO}=90^o[/imath].
Gọi [imath]N[/imath] là trung điểm [imath]BC[/imath] thì ta dễ chứng minh được [imath]\Delta AGI \sim \Delta BHM[/imath]
Mà [imath]AG=\dfrac{AB+AC-BC}{2}=\dfrac{BC}{2}=BH[/imath] nên [imath]\Delta AGI=\Delta BHM[/imath]
[imath]\Rightarrow MB=AI[/imath]
Mặt khác, [imath]\widehat{MIB}=\widehat{BAI}+\widehat{ABI}=\widehat{MBC}+\widehat{IBC}=\widehat{MBI}[/imath] nên [imath]MB=MI[/imath]
[imath]\Rightarrow AI=MI \Rightarrow OI \perp AM[/imath] hay [imath]\widehat{OIA}=90^o[/imath]
Từ đó [imath]K,I,O[/imath] thẳng hàng.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Ôn tập toán các dạng bài hình học 9
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
