chứng minh. ai làm được càng nhanh càng tốt

H

hiensau99

sonlam_boydepzai said:
chứng minh n^5 - n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n. nhớ thanks nha
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta có: $n^5-n = n(n^4-1 )= n(n^2-1)(n^2+1)= n(n-1)(n+1)(n^2+1)$

Ta có $n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ có chứa tích của 2 số tự nhiên liên tiếp là n(n-1) nên $n(n-1)(n+1)(n^2+1) \vdots 2$ (1)

Ta có $n(n-1)(n+1)(n^2+1) $ có chứa tích của 3 số tự nhiên liên tiếp là (n-1)n(n+1) nên $n(n-1)(n+1)(n^2+1) \vdots 3$ (2)

n có dạng 5k; 5k+1; 5k+2; 5k+3; 5k+4

+ Với n=5k nên $n(n-1)(n+1)(n^2+1) = 5k(n-1)(n+1)(n^2+1) \vdots 5 $

+ Với n=5k+1 nên $n(n-1)(n+1)(n^2+1)= n(5k+1-1)(n+1)(n^2+1) = n.5k.(n+1)(n^2+1) \vdots 5 $

+ Với n=5k+2 nên $n(n-1)(n+1)(n^2+1) = n(n-1)(n+1)[(5k+2)^2+1]= n(n-1)(n+1)(25k^2+4+ 20k+1)=n(n-1)(n+1)5(5k^2+1+ 4k) \vdots 5 $

+ Với n=5k+3 nên $n(n-1)(n+1)(n^2+1) = n(n-1)(n+1)[(5k+3)^2+1]= n(n-1)(n+1)(25k^2+9+ 30k+1)=n(n-1)(n+1)5(5k^2+2+ 6k) \vdots 5 $

+ Với n=5k+4 nên $n(n-1)(n+1)(n^2+1)= n(5k-1)(5k+4+1)(n^2+1) = n(5k-1)5(k+1)(n^2+1) \vdots 5 $

Vậy với mọi n thì $n(n-1)(n+1)(n^2+1) \vdots 5$ (3)

Ta có $(2;3;5)=1$ và 2.3.5= 30 (4)

Từ (1);(2);(3);(4) ta có $n(n-1)(n+1)(n^2+1) \vdots 30$ . Hay $n^5-n \vdots 30$ (đpcm)

 
H

harrypham

Một cách phân tích khác:
$$\begin{aligned} n^5-n & = n(n^4-1) \\ & = n(n^2-1)(n^2+1) \\ & = n(n-1)(n+1)(n^2+1) \\ & = n(n-1)(n+1)(n^2-4+5) \\ & = n(n-1)(n+1)(n^2-4)+5(n-1)n(n+1) \\ & = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5n(n-1)(n+1) \end{aligned}$$
 
1

12ab3csy

Mik có cách nhanh hơn, nhưng phải pik định lý Fecma mới được:
Chứng minh A = $n^5-n$⋮30, 30 = 2.3.5, nên ta sẽ chứng minh A⋮2, 3 và 5

$n^5-n$=$n(n^4-1)$ = $n(n^2-1)(n^2+1)$ = $(n^2+1)(n-1)n(n+1)$ ⋮$(n-1)n(n+1)$ là tích của 3 số liên tiếp nên⋮3 và 2 (1)

Theo định lý Fecma, vì 5 là số nguyên tố => $n^5-n$⋮5 (2)
=> đpcm

( Còn nếu bạn không biết định lý fecma thì chứng minh A chia hết cho 5 như sau;
$a^5-a = a(a^2+1)(a^2-1)$
$= a(a^2-4+5)(a^2-1)$
$= a(a^2-1)(a^2-4)+5a(a^2-1)$
$= (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a^2-1)$ chia hết cho 5, xong, cho mik "đúng" nha!


♥ghét tất cả những thứ tốt đẹp trên đời: ghét học giỏi, ghét giàu có, ghét đc bạn yêu quý, ghét đc điểm cao, ghét may mắn thành công hạnh phúc...ghét nhiều điều tốt nữa NHƯNG..cực..cực like cái câu:"Ghét của nào trời trao của ấy =))=)) hehe"
 (nguồn:copy lung tung =))=)) )


:)>-:)>- Hãy nhấn đúng và cảm ơn nếu cảm thấy hài lòng các bạn nhé!!!;);)
 
Last edited by a moderator:
M

manhtien1998

vkl

lam the ma cung cam on dua ak
jdlksssssshhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
ngungungungugngungungungungu
bai nay ma cung cam on het cho noi
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnggggggggggggggggggggggggggggggguuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu
 
1

12ab3csy

Đề nghị bạn tôn trọng người khác nhe............................................
 
P

phong_1998

Ta có: $n^5-n = n(n^4-1 )= n(n^2-1)(n^2+1)= n(n-1)(n+1)(n^2+1)$[/B]

Ta có $n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ có chứa tích của 2 số tự nhiên liên tiếp là n(n-1) nên $n(n-1)(n+1)(n^2+1) \vdots 2$ (1)

Ta có $n(n-1)(n+1)(n^2+1) $ có chứa tích của 3 số tự nhiên liên tiếp là (n-1)n(n+1) nên $n(n-1)(n+1)(n^2+1) \vdots 3$ (2)

n có dạng 5k; 5k+1; 5k+2; 5k+3; 5k+4

+ Với n=5k nên $n(n-1)(n+1)(n^2+1) = 5k(n-1)(n+1)(n^2+1) \vdots 5 $

+ Với n=5k+1 nên $n(n-1)(n+1)(n^2+1)= n(5k+1-1)(n+1)(n^2+1) = n.5k.(n+1)(n^2+1) \vdots 5 $

+ Với n=5k+2 nên $n(n-1)(n+1)(n^2+1) = n(n-1)(n+1)[(5k+2)^2+1]= n(n-1)(n+1)(25k^2+4+ 20k+1)=n(n-1)(n+1)5(5k^2+1+ 4k) \vdots 5 $

+ Với n=5k+3 nên $n(n-1)(n+1)(n^2+1) = n(n-1)(n+1)[(5k+3)^2+1]= n(n-1)(n+1)(25k^2+9+ 30k+1)=n(n-1)(n+1)5(5k^2+2+ 6k) \vdots 5 $

+ Với n=5k+4 nên $n(n-1)(n+1)(n^2+1)= n(5k-1)(5k+4+1)(n^2+1) = n(5k-1)5(k+1)(n^2+1) \vdots 5 $

Vậy với mọi n thì $n(n-1)(n+1)(n^2+1) \vdots 5$ (3)

Ta có $(2;3;5)=1$ và 2.3.5= 30 (4)

Từ (1);(2);(3);(4) ta có $n(n-1)(n+1)(n^2+1) \vdots 30$ . Hay $n^5-n \vdots 30$ (đpcm)
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom