Chứng minh AE, AF là các tiếp tuyến của (O)

[yourname2001]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Qua điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ cát tuyến ABC với đường tròn. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau ở K. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AO cắt AO tại H và cắt đường tròn (O) tại E và F (E nằm giữa K và F). Gọi M là giao điểm của OK và BC. Chứng minh AE, AF là các tiếp tuyến của (O)

 

[iceghost]

Gọi $I$ là giao điểm của $OK$ và $BC$. Dễ thấy $OK \perp BC$ tại $I$. Khi đó ta có tứ giác $AHIK$ nội tiếp nên $\widehat{HAI} = \widehat{HKI}$
Lại có $OI \cdot OK = OB^2 = OE^2$ hay $\dfrac{OI}{OE} =\dfrac{OE}{OK}$ nên $\triangle{OIE} \sim \triangle{OEK}$, suy ra $\widehat{OEI} = \widehat{OKE}$ hay $\widehat{OEI} = \widehat{HKI}$
Khi đó : $\widehat{OEI} = \widehat{HAI}$, suy ra $AOIE$ nội tiếp, suy ra $\widehat{AEO} = \widehat{AIO} = 90^\circ$, suy ra $AE$ là tiếp tuyến của $(O)$. Tương tự với $AF$