Toán 8 Chứng minh AB^2 < (b+c+a)(b+c-a)/4

[lyquyet2005@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đáy nhỏ AD. Đặt BC=a , MB=c , MC=b. Chừng minh rằng
AB^2 < (b+c+a)(b+c-a)/4

 

[iceghost]

Hạ đường cao $MH$ trong tam giác $MBC$. Khi đó theo tính chất hcn thì $AB = MH$
Đặt $BH = x$ và $CH = y$ như hình vẽ

Ta có đpcm $\iff 4AB^2 < (b + c + a)(b + c - a)$
$\iff 4MH^2 < (b + c)^2 - a^2$
$\iff 2MH^2 + 2MH^2 < (b + c)^2 - (x + y)^2$
$\iff 2(b^2 - x^2) + 2(c^2 - y^2) < (b^2 + 2bc +c^2) - (x^2 + 2xy + y^2)$
$\iff b^2 - 2bc + c^2 < x^2 - 2xy + y^2$
$\iff (b - c)^2 < (x - y)^2$

Nhân 2 vế cho $a^2 = (x+y)^2$:
$a^2(b-c)^2 < (x - y)^2(x+y)^2$

Ta có $VP = (x^2-y^2)^2$
$= ((b^2-MH^2) - (c^2-MH^2))^2$
$= (b^2-c^2)^2 = (b-c)^2 (b+c)^2$

Do $a^2 < (b + c)^2$ nên $a^2(b-c)^2 \leqslant (b-c)^2(b+c)^2$ (đề thiếu dấu bằng rồi)

Vậy ta có đpcm