chứng minh $a_1+a_2+a_3+...+a_{2009}<1$

[nguyenquynang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho [TEX]a_n=\frac{2}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}[/TEX] với n=1;2;3...2009
chứng minh [TEX]a_1+a_2+a_3+...+a_{2009}<1[/TEX]

 

[harrypham]

cho [TEX]a_n=\frac{2}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}[/TEX] với n=1;2;3...2009
chứng minh [LATEX]a_1+a_2+a_3+...+a_{2009}<1[/LATEX]

Lời giải. Chú ý [LATEX]\left( \sqrt n + \sqrt{n+1} \right) \left( \sqrt{n+1}- \sqrt n \right) = 1[/LATEX].
Do đó [LATEX]a_n= \dfrac{2 \left( \sqrt{n+1}- \sqrt n \right)}{2n+1}[/LATEX].
Ta có [LATEX]2n+1 > 2\sqrt{(n+1)n}[/LATEX].
Như vậy [LATEX]a_n < \dfrac{1}{\sqrt n}- \dfrac{1}{ \sqrt{n+1}}[/LATEX].
Thay vào rồi ta có đpcm.