Chứng minh A biểu diễn dưới dạng tổng bình phương 3 số nguyên liên tiếp

[strawberryyellow]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số $a_n$ được xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix}
a_0=2 & & \\
a_{n+1}=4a_n+\sqrt{15a_n^2-60},\ (n\in N^*) & &
\end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng số $A=\dfrac{1}{5}(a_{2n}+8)$ được biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương của 3 số nguyên liên tiếp với mọi $n\geq1$

 

[huynhbachkhoa23]

Giống đề 30/4 thế. Đề này mà là casio cũng lạ.
Biến đổi ta được $a_{n+1}^2+a_{n}^2=8a_{n+1}.a_{n}-60$
Thay $n$ bằng $n-1$ ta được $a_{n}^2+a_{n-1}^2=8a_{n}.a_{n-1}-60$
Trừ vế theo vế: $a_{n+1}^2-a_{n-1}^2=8a_{n}(a_{n+1}-a_{n-1})$ hay $a_{n+1}=8a_{n}-a_{n-1}$
Phương trình đặc trưng: $x^2-8x+1=0$ hay $x=4\pm \sqrt{15}$
Do đó $a_{n}=t_1(4+\sqrt{15})^n+t_2(4-\sqrt{15})^n$
Thay $n=0$ và $n=1$ ta được $t_1+t_2=2$ và $(4+\sqrt{15})t_1+(4-\sqrt{15})t_2=8$ hay $u_{n}=(4+\sqrt{15})^n+(4-\sqrt{15})^n$
Giờ dùng nhị thức Newton khai triển là ra.