Giả sử a chẵn suy ra b chẵn
Gọi d=(a+1;b+1)
Suy ra [tex]b^2+1\vdots a+1\vdots d\\\Rightarrow b^2-b=b(b+1)-2b\vdots d\\\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2b \vdots d & & \\ 2b+2 \vdots d & & \end{matrix}\right.\\\Rightarrow 2 \vdots d \Rightarrow d=1[/tex]
[tex]\Rightarrow a^2+b^2\vdots (a+1)(b+1)[/tex]
Đặt [tex]a^2+b^2=k(a+1)(b+1)[/tex]
Giả sử có nghiệm nguyên dương thoả mãn
Ta cần tìm [tex]x_{0},y_{0}[/tex] thỏa mãn sao cho [tex]x_{0}+y_{0}[/tex] min và [tex]x_{0}\geq y_{0}[/tex]
Xét phương trình bậc 2 :
[tex]x^2-xn(y_{0}+1)+y_{0}^{2}-ny_{0}-n=0[/tex]
Phương trình trên nhận [tex]x_{0}[/tex] là nghiệm và có nghiệm thứ 2 là [tex]x_{1}[/tex]
Theo viet suy ra
[tex]\left\{\begin{matrix} x_{0}+x_{1}=n(y_{0}+1) & & \\ x_{0}.x_{1}=y_{0}^2-ny_{0}-n & & \end{matrix}\right.[/tex]
Xét 2 TH
1) [tex]x_{1}<0[/tex] suy ra
[tex]x_{1}^2-x_{1}.(y_{0}+1)+y_{0}^2-ny_{0}-n=0\\\Rightarrow 0\geq x_{1}^2+n(y_{0}+1)+y_{0}^2-ny_{0}-n=x_{1}^2+y_{0}^2>0[/tex]
Vô lí
2) x1>0 suy ra [tex](x_{1},y_{0})[/tex] là cặp nghiệm khác của phương trình bậc 2
Ta có [tex]x_{1}>x_{0}[/tex]
Từ
[tex]x_{0}x_{1}=y_{0}^2-ny_{0}-n\\\Rightarrow x_{0}^2< x_{0}x_{1}< y_{0}^2[/tex]
vô lí
Suy ra giả sử sai
Suy ra a lẻ suy ra b lẻ
Vậy a,b đều lẻ
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
