Toán 9 Chứng minh: $a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ và $(a+b+c)^{2}\leq (1+b+c)(a^{2}+b+c)$

[NoName23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các bạn giúp mk chứng minh cái này với , mk chưa hiểu
+ Chứng minh : a+b+c [tex]\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}[/tex]
Và [tex](a+b+c)^{2}\leq (1+b+c)(a^{2}+b+c)[/tex]

 

[quynhphamdq]

Các bạn giúp mk chứng minh cái này với , mk chưa hiểu
+ Chứng minh : a+b+c [tex]\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}[/tex]
Và [tex](a+b+c)^{2}\leq (1+b+c)(a^{2}+b+c)[/tex]

Hai trường hợp này là áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki nhé bạn .
Ví dụ áp dụng Bunhiacopxki cho bộ số a,b,c và x,y,z không âm
ta có :
[TEX](x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)\geq (xa+yb+zc)^2 [/TEX]

 

[baogiang0304]

a)Ta có:[tex]\frac{a^{2}}{2}-ab+\frac{b^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{2}-bc+\frac{c^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}-ac+\frac{c^{2}}{2}\geq 0[/tex]
=>[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac[/tex]
=>[tex]3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^{2}[/tex]
=>[tex]\sqrt{3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq a+b+c[/tex]
b)Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số không âm:[tex]a^{2}b+b\geq 2ab;a^{2}c+c\geq 2ac[/tex]
=>[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc+a^{2}b+b+a^{2}c+c\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc+2ac+2ab=(a+b+c)^{2}[/tex]
=>[tex](1+b+c)(a^{2}+b+c)\geq (a+b+c)^{2}[/tex]