Toán 10 Chứng minh a^3/căn(b^2 + 3) + ... >= 3/2

[Kayaba Akihiko]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Moị người giúp em câu 8 với ạ , em cảm ơn

 

[TranPhuong27]

Xin phép làm bài 8b
[tex]\frac{a}{1+b^2}=\frac{a(1+b^2)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/tex]
Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế ta có:
[tex]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2} \geq a+b+c-(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ca}{2})[/tex] [tex]\geq 3-\frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[Kayaba Akihiko]

Xin phép làm bài 8b
[tex]\frac{a}{1+b^2}=\frac{a(1+b^2)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/tex]
Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế ta có:
[tex]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2} \geq a+b+c-(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ca}{2})[/tex] [tex]\geq 3-\frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> [TEX]a=b=c=1[/TEX]

dòng này mình chưa hiểu chỗ dấu = thứ 2 lắm ? sao ra ( a+b+c)^2/3 được vậy ?

 

[TranPhuong27]

8.1: Áp dụng BĐT Cô-si:
[tex]\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^2+3}{8} \geq \frac{3a^2}{2}[/tex]
Chứng minh tương tự rồi cộng vế:
[tex]2VT + \frac{a^2+b^2+c^2+9}{8} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2}[/tex]
<=> [tex]2VT+\frac{3}{2}\geq \frac{9}{2}[/tex]
<=> [tex]VT \geq \frac{3}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[tiểu tuyết]

dòng này mình chưa hiểu chỗ dấu = thứ 2 lắm ? sao ra ( a+b+c)^2/3 được vậy ?

Áp dụng BĐT Cô Si [tex]3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2[/tex]

 

[TranPhuong27]

dòng này mình chưa hiểu chỗ dấu = thứ 2 lắm ? sao ra ( a+b+c)^2/3 được vậy ?

[tex]3(ab+bc+ca)\leq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{2}\leq \frac{\frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}}{2}[/tex]

 

[tiểu tuyết]

8a
[tex]\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}=2(\frac{a^4}{2a\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^4}{2b\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^4}{2c\sqrt{a^2+3}})[/tex]
Lại có [tex]2a\sqrt{b^2+3}\leq \frac{4a^2+b^2+3}{2}=>\frac{a^4}{2a\sqrt{b^2+3}}\geq \frac{2a^4}{4a^2+b^2+3}[/tex]
[tex]=>2(\frac{a^4}{2a\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^4}{2b\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^4}{2c\sqrt{a^2+3}})\geq 4(\frac{a^4}{4a^2+b^2+3}+\frac{b^4}{4b^2+c^2+3}+\frac{c^4}{4c^2+a^2+3})[/tex]
Áp dụng BĐT Sơ vác ta có [tex]\frac{a^4}{4a^2+b^2+3}+\frac{b^4}{4b^2+c^2+3}+\frac{c^4}{4c^2+a^2+3}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{5(a^2+b^2+c^2)+9}=\frac{9}{24}[/tex]
[tex]=>\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}\geq \frac{3}{2}[/tex]
Dấu [tex]"=" <=>a=b=c=1[/tex]
Đây là bài tự mình nghĩ không chắc là đúng đâu nha