Toán 9 Chứng minh a^2 + b^2 + c^2 >= ...

[N.T.Dũng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1 & & \\ a,b,c>0 & & \end{matrix}\right.[/tex]
CMR: [tex]a^2+b^2+c^2\geq \frac{(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3})^{4}}{3}[/tex]

Mọi người giúp mk vs

 

[nhatminh1472005]

Cho [tex]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1 & & \\ a,b,c>0 & & \end{matrix}\right.[/tex]
CMR: [tex]a^2+b^2+c^2\geq \frac{(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3})^{4}}{3}[/tex]

Mọi người giúp mk vs

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
[tex]1=\frac{1}{a}+\frac{(\sqrt{2})^2}{b}+\frac{(\sqrt{3})^2}{c}\geq\frac{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}{a+b+c}[/tex]
[tex]\Rightarrow a+b+c\geq(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\Rightarrow (a+b+c)^2\geq(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^4 (1)[/tex].
Ta có BĐT đúng sau:
[tex]3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2 (2)[/tex] (biến đổi tương đương để chứng minh).
Từ (1) và (2) suy ra [tex]3(a^2+b^2+c^2)\geq(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^4[/tex]
[tex]\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq\frac{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^4}{3}[/tex] (đpcm).