Toán 9 Chứng minh $(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^2\geqslant 9(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

[Nguyệt Dạ]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)^2\geqslant 9(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

 

[Erwin Schrödinger]

[TEX]p=a+b+c[/TEX]
[TEX]q=ab+bc+ac[/TEX]
[TEX]r=abc[/TEX]
[tex](a+b+c)^4-2(ab+bc+ac)(a+b+c)^2\geq 9(ab+bc+ac)^2-18abc(a+b+c)<=>p^4-2qp^2\geq 9q^2-18rp[/tex]
do 2 vế đồng bạc ko mất tính tổng quát giả sử [TEX]abc=1<=>r=1[/TEX]
[tex]p^4-2qp^2\geq 9q^2-18p[/tex] ( theo BĐT schur nha)
ta lại có [tex]p^2+9r\geq4pq=>q\leq \frac{p^3+9r}{4p}=\frac{p^3+9}{4p}[/tex]
[tex]p^4-2\frac{p^3+9}{4p}p^2\leq 9(\frac{p^3+9}{4p})^2-18p <=>\frac{(p^3-27)^2}{p^2}\geq 0[/tex]
BĐT trên đúng vì [tex]p\geq 3r=3[/tex]

 

[dangtiendung1201]

[TEX]p=a+b+c[/TEX]
[TEX]q=ab+bc+ac[/TEX]
[TEX]r=abc[/TEX]
[tex](a+b+c)^4-2(ab+bc+ac)(a+b+c)^2\geq 9(ab+bc+ac)^2-18abc(a+b+c)<=>p^4-2qp^2\geq 9q^2-18rp[/tex]
do 2 vế đồng bạc ko mất tính tổng quát giả sử [TEX]abc=1<=>r=1[/TEX]
[tex]p^4-2qp^2\geq 9q^2-18p[/tex] ( theo BĐT schur nha)
ta lại có [tex]p^2+9r\geq4pq=>q\leq \frac{p^3+9r}{4p}=\frac{p^3+9}{4p}[/tex]
[tex]p^4-2\frac{p^3+9}{4p}p^2\leq 9(\frac{p^3+9}{4p})^2-18p <=>\frac{(p^3-27)^2}{p^2}\geq 0[/tex]
BĐT trên đúng vì [tex]p\geq 3r=3[/tex]

Anh ơi,lớp 9 chưa học Schur ạ.

 

[Erwin Schrödinger]

Anh ơi,lớp 9 chưa học Schur ạ.

học trước

 

[Nguyệt Dạ]

[TEX]p=a+b+c[/TEX]
[TEX]q=ab+bc+ac[/TEX]
[TEX]r=abc[/TEX]
[tex](a+b+c)^4-2(ab+bc+ac)(a+b+c)^2\geq 9(ab+bc+ac)^2-18abc(a+b+c)<=>p^4-2qp^2\geq 9q^2-18rp[/tex]
do 2 vế đồng bạc ko mất tính tổng quát giả sử [TEX]abc=1<=>r=1[/TEX]
[tex]p^4-2qp^2\geq 9q^2-18p[/tex] ( theo BĐT schur nha)
ta lại có [tex]p^2+9r\geq4pq=>q\leq \frac{p^3+9r}{4p}=\frac{p^3+9}{4p}[/tex]
[tex]p^4-2\frac{p^3+9}{4p}p^2\leq 9(\frac{p^3+9}{4p})^2-18p <=>\frac{(p^3-27)^2}{p^2}\geq 0[/tex]
BĐT trên đúng vì [tex]p\geq 3r=3[/tex]

Sr bạn, mình viết sai đề bài ạ. Với $(a;b;c)=(1;30;40)$ BĐT hiển nhiên sai.
Nhưng mà dù sao cũng cảm ơn bạn ạ ^^