Cho a,b,c [TEX]\epsilon \begin{bmatrix}-2;5\end{bmatrix}[/TEX] thỏa a+2b+3c [TEX]\leq 2[/TEX]
CM: [TEX]a^{2}+2b^{2}+3c^{2}\leq 66[/TEX]
Vì [tex]a,b,c\in [-2;5][/tex] nên [TEX]-2\leq a,b,c\leq 5[/TEX].
Từ đó suy ra [tex]\left\{\begin{matrix} (a+2)(a-5)\leq 0\\ (b+2)(b-5)\leq 0\\ (c+2)(c-5)\leq 0 \end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\leq 3a+10\\ b^2\leq 3b+10\\ c^2\leq 3c+10 \end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\leq 3a+10\\ 2b^2\leq 6b+20\\ 3c^2\leq 9c+30 \end{matrix}\right.[/tex].
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta có:
[tex]a^2+2b^2+3c^2\leq 3a+6b+9c+10+20+30=3(a+2b+3c)+60\leq 3.2+60=66[/tex].
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [tex]\left\{\begin{matrix} a\in \left \{ \left. -2;5 \right \} \right.\\ b\in \left \{ \left. -2;5 \right \} \right.\\ c\in \left \{ \left. -2;5 \right \} \right.\\ a+2b+3c=2 \end{matrix}\right.[/tex][tex]\Leftrightarrow (a;b;c)=(-2;5;-2)[/tex].
Vậy ta có điều phải chứng minh.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
