Toán 9 Chứng minh -64 <= x^2 y (4 - x - y) <= 4

[Love You At First Sight]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y không âm thỏa mãn x+y[tex]\leq[/tex]6. Chứng minh: [tex]-64\leq x^2y(4-x-y)\leq 4[/tex]

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex]P=x^2y(4-x-y)[/tex]
Với [tex]4-x-y\geq 0[/tex] ta có:
[tex]P=x^2y(4-x-y)=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}y(4-x-y)\leq 4(\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y+4-x-y}{4})^4=4.1=4[/tex]
Dấu " = " xảy ra khi [tex]\frac{x}{2}=y=4-x-y\\ \Leftrightarrow x=2,y=1[/tex]
Với [tex]4-x-y<0[/tex] ta có:
[tex]P=4\frac{x}{2}.\frac{x}{2}y(4-x-y)=-4\frac{x}{2}.\frac{x}{2}y(x+y-4)\geq -4\frac{x}{2}.\frac{x}{2}y(6-4)=-8\frac{x}{2}.\frac{x}{2}y[/tex]
Mà [tex]\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.y\leq (\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y}{3})^3=(\frac{x+y}{3})^3=2^3=8\Rightarrow P\geq -8.8=-64[/tex]
Dấu " = " xảy ra khi [tex]\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2}=y\\ x+y=6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=4,y=2[/tex]
Vậy [tex]-64\leq P\leq 4[/tex]