Chứng minh: $3^{m-1}\equiv 1(modm)$

[thinhrost1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Giả sử p là số nguyên tố lẻ. Đặt:

$m=\dfrac{9^p-1}{8}$

Chứng minh rằng m là một hợp số lẻ, không chia hết cho 3 và:

$3^{m-1}\equiv 1(modm)$

2) Tìm $a,b,c,d,m,n$ sao cho $\overline{abcdmn}.2=\overline{cdabmn}$[/CENTER]

3) Cho 7 số khác nhau, mỗi số gồm 7 chữ số phân biệt từ các 1,2,3,4,5,6,7. Hỏi có thể viết đưuọc đẳng thức sao cho tổng các lũy thừa bậc 7 của một vài số (phân biệt ) trong 7 số này bằng tổng các lũy thừa bậc 7 của tất cả các số (phân biệt) còn lại ?

 

[huy14112]

$m=\dfrac{9^p-1^p}{8}=\dfrac{8(9^{p-1}+9^{p-2}+9^{p-3}+................+9+1)}{8}=9^{p-1}+9^{p-2}+9^{p-3}+............+9+1$

Ok thế là m ko chia hết cho 3 .

Tách $m=\dfrac{9^p-1^p}{8}=\dfrac{9^p-1^p}{2}.\dfrac{9^p-1^p}{4}$

Và chứng minh 2 thừa số đó lớn hơn 1 là ok (dễ vì kiều gì $p\ge 3$) suy ra là hợp số

Còn phần số lẻ có cần chứng minh ko quá dễ rồi nhá

Bây giờ phang nốt cái định lý fermat nhỏ nữa là ok .

Xác nhận đi .

 

[thinhrost1]

$m=\dfrac{9^p-1^p}{8}=\dfrac{8(9^{p-1}+9^{p-2}+9^{p-3}+................+9+1)}{8}=9^{p-1}+9^{p-2}+9^{p-3}+............+9+1$

Ok thế là m ko chia hết cho 3 .

Còn cái đoạn chứng minh hợp số thì dễ .

Bây giờ phang nốt cái định lý fermat nhỏ nữa là ok .

Xác nhận đi .

Đã chứng minh thì phải chứng minh cho hết !

 

[thinhrost1]

$m=\dfrac{9^p-1^p}{8}=\dfrac{8(9^{p-1}+9^{p-2}+9^{p-3}+................+9+1)}{8}=9^{p-1}+9^{p-2}+9^{p-3}+............+9+1$

Ok thế là m ko chia hết cho 3 .

Tách $m=\dfrac{9^p-1^p}{8}=m=\dfrac{9^p-1^p}{2}.m=\dfrac{9^p-1^p}{4}$

Và chứng minh 2 thừa số đó lớn hơn 1 là ok (dễ vì kiều gì $p\ge 3$) suy ra là hợp số

Còn phần số lẻ có cần chứng minh ko quá dễ rồi nhá

Bây giờ phang nốt cái định lý fermat nhỏ nữa là ok .

Xác nhận đi .

Khúc màu đỏ ???

Lưu ý kỹ khúc này "nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên nguyên tố cùng nhau với p, thì $a^{p-1} - 1$ sẽ chia hết cho p"

 

[soicon_boy_9x]

$m=\dfrac{9^p-1^p}{8}=\dfrac{8(9^{p-1}+9^{p-2}+9^{p-3}+................+9+1)}{8}=9^{p-1}+9^{p-2}+9^{p-3}+............+9+1$

Ok thế là m ko chia hết cho 3 .

Tách $m=\dfrac{9^p-1^p}{8}=\dfrac{9^p-1^p}{2}.\dfrac{9^p-1^p}{4}$

Và chứng minh 2 thừa số đó lớn hơn 1 là ok (dễ vì kiều gì $p\ge 3$) suy ra là hợp số

Còn phần số lẻ có cần chứng minh ko quá dễ rồi nhá

Bây giờ phang nốt cái định lý fermat nhỏ nữa là ok .

Xác nhận đi .

Sai rồi còn xác nhận cái gì

$\dfrac{9^p-1^p}{2}.\dfrac{9^p-1^p}{4}=\dfrac{(9^p-1^p)^2}{8} \neq m$

 

[huy14112]

Sai rồi còn xác nhận cái gì

$\dfrac{9^p-1^p}{2}.\dfrac{9^p-1^p}{4}=\dfrac{(9^p-1^p)^2}{8} \neq m$

Ờ nhể mình ngu quá làm vội phải tách thành $\dfrac{3^p-1}{2}.\dfrac{3^p+1}{4}$

chứ nhể . thanks you anh

 

[thinhrost1]

$m=\dfrac{9^p-1^p}{8}=\dfrac{8(9^{p-1}+9^{p-2}+9^{p-3}+................+9+1)}{8}=9^{p-1}+9^{p-2}+9^{p-3}+............+9+1$

Ok thế là m ko chia hết cho 3 .

Tách $m=\dfrac{9^p-1^p}{8}=\dfrac{9^p-1^p}{2}.\dfrac{9^p-1^p}{4}$

Và chứng minh 2 thừa số đó lớn hơn 1 là ok (dễ vì kiều gì $p\ge 3$) suy ra là hợp số

Còn phần số lẻ có cần chứng minh ko quá dễ rồi nhá

Bây giờ phang nốt cái định lý fermat nhỏ nữa là ok .

Xác nhận đi .

Học lại định lý Fecma nhỏ đi m là hợp số mà @@

 

[soicon_boy_9x]

Không ai làm bài 2 à

Đặt $\overline{ab}=x \ \ \ \ \overline{cd}=y \ \ \ \ \ \overline{mn}=z$

$\rightarrow 20000x+200y+2z=10000y+100x+z$

$\rightarrow 19900x+2z=9800y \rightarrow z \vdots 100 \rightarrow z=0$

$\rightarrow 199x=98y \rightarrow \dfrac{x}{y}=\dfrac{98}{199}$(loại)

Vậy $a;b;c;d;m;n$ thỏa mãn.

Như thế có dễ quá không nhỉ

 

[huy14112]

Bài 1 có thể coi làm được nửa rồi . Còn phần cuối em có ý tưởng chứng minh $3^{m-1}-1 \vdots m $ có được ko nhỉ .

 

[soicon_boy_9x]

Bài 3

Gọi số bất kì trong 7 số đó là $a_i$

$\rightarrow a_i \equiv 1+2+3+4+5+6+7 (mod \ \ \ 9 ) \equiv 1 (mod \ \ \ \ 9)$

$\rightarrow a_1^7 \equiv 1 (mod \ \ \ 9)$

Vì vậy mỗi lũy thừa bậc 7 của mỗi số tông 7 số đó đều chia 9 dư 1

Mà tổng lũy thừa bậc 7 của 7 số chia 9 dư 7 nên mỗi vế phải chia 9 dư 8

Tổng chia 9 dư 8 mà mỗi số hạng chia 9 dư 1 nên số số hạng chia 9 dư 8

Vì vậy số số hạng lớn hơn hoặc bằng 8

Vô lí

Vậy ta có không thể lập được đẳng thức như đề bài

 

[huy14112]

Sau 1 hồi lâu search em đã tìm ra cách làm http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/83695-ch%E1%BB%A9ng-minh-r%E1%BA%B1ng-s%E1%BB%91-a-la-1-h%E1%BB%A3p-s%E1%BB%91-l%E1%BA%BB-khong-chia-h%E1%BA%BFt-cho-3-va-a-3a-1-1/?p=367684

Mọi ngưòi giải thích hộ em đoạn chứng minh $a \vdots p-1$ nhé

 

[thinhrost1]

Bài 3

Gọi số bất kì trong 7 số đó là $a_i$

$\rightarrow a_i \equiv 1+2+3+4+5+6+7 (mod \ \ \ 9 ) \equiv 1 (mod \ \ \ \ 9)$

$\rightarrow a_1^7 \equiv 1 (mod \ \ \ 9)$

Vì vậy mỗi lũy thừa bậc 7 của mỗi số tông 7 số đó đều chia 9 dư 1

Mà tổng lũy thừa bậc 7 của 7 số chia 9 dư 7 nên mỗi vế phải chia 9 dư 8

Tổng chia 9 dư 8 mà mỗi số hạng chia 9 dư 1 nên số số hạng chia 9 dư 8

Vì vậy số số hạng lớn hơn hoặc bằng 8

Vô lí

Vậy ta có không thể lập được đẳng thức như đề bài

Hình như anh cần phải chứng minh: "Số dư của phép chia một số tự nhiên cho 0 đúng bằng số dư trong phép chia cho 0 của tổng các chữ số của số tự nhiên này"

Sẵn cho em hỏi vế phải mà anh nói là ntn nhỉ ? Bài này không giải bằng cách lập luận đuợc không anh ( giống như là cái công thức) nếu đuợc anh trình bày đi cho dễ hiểu ?

 

[soicon_boy_9x]

Hình như anh cần phải chứng minh: "Số dư của phép chia một số tự nhiên cho 0 đúng bằng số dư trong phép chia cho 0 của tổng các chữ số của số tự nhiên này"

Sẵn cho em hỏi vế phải mà anh nói là ntn nhỉ ? Bài này không giải bằng cách lập luận đuợc không anh ( giống như là cái công thức) nếu đuợc anh trình bày đi cho dễ hiểu ?

Phải là "Số dư của phép chia một số tự nhiên cho 9 đúng bằng số dư trong phép chia cho 9 của tổng các chữ số của số tự nhiên này" chứ

Cái này hiển nhiên còn gì nhỉ

Có rất nhiều cách chứng minh mà

Gọi số đó là $\overline{abcdefg}-a-b-c-d-e-f-g=999999a+99999b+9999c+999d+99e+9f
\vdots 9 \rightarrow dpcm$

Còn cách làm không sử dụng lập luận à

Giả sử có thể lập được đẳng thức, không mất tính tổng quát thì ta có vế trái có n số
hạng $(n \in N* ) $

Vì $a_i^7 \equiv 1 (mod \ \ 9) \rightarrow VT \equiv n (mod \ \ \ 9)$

Và $VP \equiv 7-n (mod \ \ 9)$

Vì $VT=VP$ mà $ 0 <n;7-n <9$ nên $n=7-n \rightarrow 2n=7$(vô lí)

Vậy điều giả sử không xảy ra $\rightarrow dpcm$