Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

[adamnguyen281]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tam giác ABC đều, có H trực tâm, đường cao AD, M là điểm bất kì trên BC; E,F lần lượt là hình chiếu của M trên AB,AC; I là trung điểm AM; ID cắt EF tại K. Chứng minh M, H, K thẳng hàng.

 

[manhnguyen0164]

$\Delta AEM (\hat{E}=90^o)$ có EI là trung tuyến ứng với cạnh huyền AM $\rightarrow EI=IA=\dfrac{AM}{2}$

$EI=IA \rightarrow \Delta AIE cân tại I \rightarrow \widehat{MIE}=2\widehat{EAI}$

Tương tự $\widehat{MID}=2\widehat{DAI};\widehat{MIF}=2 \widehat{IAF}$.

$\Delta EID$ cân tại I ($EI=DI=\dfrac{AM}{2}$) có:

$\widehat{EID}=\widehat{MIE}-\widehat{MID}=2(\widehat{EAI}-\widehat{DAI})=2\widehat{EAD}=60^o$.

Suy ra $\Delta EID$ đều $\rightarrow EI=ID=ED$.

Tương tự $\Delta IDF$ đều $\rightarrow ID=IF=DF$.

Do đó $IE=ED=DF=FI \rightarrow$ EIFD là hình thoi $\rightarrow KI=KD$

Gọi N là trung điểm AH. H là trực tâm của $\Delta ABC$ đều nên H cũng là trọng tâm $\rightarrow AN=NH=HD$.

IN là đường trung bình của $\Delta AHM \rightarrow IN//HM$

HK là đường trung bình của $\Delta IDN \rightarrow HK//IN$

$IN//HM;IN//HK \rightarrow$ H,K,M thẳng hàng.

 

[manhnguyen0164]

Khi tính $\widehat{EID},\widehat{DIF}$ tùy vào vị trí bạn đặt điểm M mà có thể phép tính

có dấu $+$ hay $-$ nhưng nó vẫn là $60^o$.