1. Dễ thấy biểu thức có giá trị là 1 số chẵn nên ta sẽ chứng minh [tex]3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\vdots 11 \Leftrightarrow 9^{2^{4n}}+2^{3^{4n+1}}+5 \vdots 11 \Leftrightarrow 2^{2^{4n}}+2^{3^{4n+1}}+5 \vdots 11[/tex]
Ta thấy [TEX]2^{10} \equiv 1 (\mod 11)[/TEX]
Vì [TEX]2^{4n} =16^n \equiv 1 (\mod 5), 2^{4n} \vdots 2 \Rightarrow 2^{4n} \equiv 6(\mod 10)[/TEX]
[TEX]3^{4n+1}=81^n.3 \equiv 3(\mod 5), 3^{4n+1} \equiv 1 (\mod 2) \Rightarrow 3^{4n+1} \equiv 3 (\mod 10)[/TEX]
Từ đó [TEX]2^{2^{4n}}+2^{3^{4n+1}}+5 \equiv 2^6+2^3+5 =77 \equiv 0(\mod 11)[/TEX]
2. Theo định lí nhỏ Fermat thì [TEX]2^{18} \equiv 1 (\mod 19)[/TEX]
Lại có: [TEX]2^{6n+2}=64^n.4 \equiv 4(\mod 9), 2^{6n+2} \vdots 2 \Rightarrow 2^{6n+2} \equiv 4(\mod 18) \Rightarrow 2^{2^{6n+2}}+3 \equiv 2^4+3=19 \equiv 0(\mod 19)[/TEX]
3. Ta có [TEX]2^3 \equiv 1(\mod 7)[/TEX]
Mà [TEX]2^{2n+1}=4^n.2 \equiv 2 (\mod 7) \Rightarrow 2^{2^{2n+1}}+3 \equiv 2^2+3 \equiv 0(\mod 7)[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
