Chứng minh 2 đa thức bằng nhauuuu

[zendavi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề:
a, Cho ([TEX]a+b[/TEX])[TEX]^2[/TEX]=2([TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX]). Chứng minh rằng a=b
b, Cho [TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX]+[TEX]c^2[/TEX]=ab+bc+ac. Chứng minh rằng a=b=c.
c, Cho (a+b+c)[TEX]^2[/TEX]=3([TEX]ab+bc+ca[/TEX]). Chứng minh rằng a=b=c.
d, Cho [TEX]a+b+c[/TEX]=0. Chứng minh rằng: [TEX]a^3[/TEX]+[TEX]b^3[/TEX]+[TEX]c^3[/TEX]= 3[TEX]abc[/TEX]

 

[nguyentrantien]

$(a+b)^2=2(a^2+b^2)<=>a^2+2ab+b^2=2a^2+2b^2<=>a^2-2ab+b^2=0<=>(a-b)^2=0<=>a-b=0<=>a=b$

 

[vipboycodon]

b, $a^2+b^2+c^2 = ab+bc+ac$
<=> $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc = 0$
<=> $a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2 = 0$
<=> $(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 = 0$
<=> $a = b = c$ (đpcm)

 

[nguyentrantien]

$(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ca=0<=>a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$
mặc khác ta có
$a^2+b^2$\geq$2ab$
$b^2+c^2$\geq$2bc$
$c^2+a^2$\geq$2ca$
cộng vế theo vế ta có
$2(a^2+b^2+c^2)$\geq$2(ab+bc+ca)$
$a^2+b^2+c^2$\geq$ab+bc+ca$
dấu = xảy ra khi $a=b=c$

 

[vipboycodon]

d, ta có: $a+b+c = 0 => a+b = -c$
Ta có: $a^3+b^3+c^3$
= $(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$
= $-c^3-3ab(-c)+c^3$
= $3abc$ (đpcm).

 

[congchuaanhsang]

Xét hiệu $a^3+b^3+c^3-3abc$=$(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc$
=$(a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)$=0 (vì a+b+c=0)
\Rightarrow$a^3+b^3+c^3=3abc$