T
thuy_078
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Hiện nay, tớ thấy một số thành viên trong diễn đàn hay hỏi một số bài toán tích phân mà không thể tính được với những kiến thức cơ bản của chương trình phổ thông. Do đó ,tớ lập ra topic này nhằm cung cấp cho một số tích phân không tích được bằng những kiến thức trong chương trình Phổ thông.
Các bạn sau này nếu có bài nào không tính được xin vui lòng cho vào topic này nhé!!!
P/S : Có thể lúc đưa là chưa tính được, sau này tính được ta sẽ xóa nó đi. Cám ơn tất cả!!!
Cụ thể :
1. \int xtanxdx Dạng tương tự :\int xcotxdx
2. \int \frac{sinx}{x}dx Dạng tương tự :\int \frac{cosx}{x}dx
3. \int e^{x^2}dx. 4. \int e^xlnxdx. 5. \int \sqrt{lnx}dx. 6. \int \frac{dx}{lnx}
7. \int ln(cosx)dx Dạng tương tự :\int ln(sinx)dx
8. \int cos(x^2)dx Dạng tương tự :\int sin(x^2)dx
9.\int_{}^{}e^{sinx}dx Dạng tương tự : \int_{}^{}e^{cosx}dx
10.\int_{}^{}e^{tanx}dx. Dạng tương tự : \int_{}^{}e^{cotx}dx
11.\int_{}^{}\sqrt{x^3+1}dx. 12.\int_{}^{}\frac{dx}{(e^x+1)(x^2+1)}
12.\int_{}^{}\sqrt{\cos x}dx. Dạng tương tự : \int_{}^{}\sqrt{\sin x}dx
1. Tóm tắt lý thuyết:
2. Bài giải mẫu:
1. Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của tích phân:
Xét:
.
Rõ ràng:
Ta sẽ tìm cách sử dụng dấu hiệu so sánh 2 bằng cách xây dựng hàm g(x) tương đương với hàm f(x).
Muốn vậy, ta sẽ thay thế các vô cùng bé (vô cùng lớn) khi
có trong f(x) bằng các VCB (VCL) tương đương .
Ở đây ta có:
Do đó:
Vậy hàm số g(x) cần xét ở đây là:
Khi đó:
(việc kiểm tra dành cho bạn)
Mà:
hội tụ (do s =
).
Vậy theo dấu hiệu so sánh ta có:
hội tụ.
2.2.Ví dụ 2 : Xét sự hội tụ của tích phân:
Ta tìm các xây dựng hàm g(x) bằng cách thay thế các VCL tương đương.
Do
nên x là VCL bậc cao hơn sinx.
Vậy:
.
Đến đây dễ kết luận tích phân cần xét là hội tụ.
2.3. Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của tích phân:
Rõ ràng, không thể tính trực tiếp tích phân này vì hàm lấy tích phân không thể có nguyên hàm là các hàm sơ cấp.
Mặc dù,
là VCB khi
nhưng ta không thể tìm được VCB tương đương nào để thay thế. Cũng vậy, nếu viết
thì ta cũng không chỉ ra được VCL tương đương nào với
.
Vậy không thể xây dựng hàm g(x) tương đương.
Tích phân này cũng không thể sử dụng dấu hiệu Dirichlet để so sánh.
Ta tìm cách chặn hàm f(x) bởi các bất đẳng thức.
. Vì hàm f(x) xác định tại x = 0 trong khi hàm g(x) lại không xác định. Nếu không chú ý ta sẽ dễ dẫn đến ngộ nhận là
phân kỳ vì
phân kỳ.
Ta phải xét trên các khoảng mà cả f(x) lẫn g(x) đều cùng xác định. Do đó:
Tích phân đầu tiên ở vế phải là tích phân xác định nên hội tụ, tích phân còn lại cũng hội tụ (do s = 3 > 1) .
Vậy theo dấu hiệu so sánh thì tích phân cần xét phải hội tụ.
>
Chú ý:
hội tụ, nhưng
phân kỳ.
Còn về kỹ thuật có thể nói “làm nhiều quen tay”, ta chú ý đến dấu hiệu so sánh 2 để xây dựng hàm g(x) tương đương với hàm f(x) vì khi đó giới hạn của f(x)/g(x) sẽ bằng 1. Và khi đó hai hàm có cùng tính chất. Mà muốn xây dựng hàm g(x) tương đương thì phải thay thế các VCB, VCL có trong f(x) bằng các VCB , VCL tương đương. Lúc đó hàm g(x) chắc chắn sẽ có dạng:
và tùy vào loại tích phân đang xét ta sẽ có kết luận.
Có lẽ, để nhìn ngay được thì chỉ có cách này.
Nếu trường hợp không thể thay thế các VCB, VCL để xây dựng hàm g(x) được thì ta sẽ chú ý đến các dấu hiệu của định lý Dirichlet và Abel. Còn cuối cùng, nếu vẫn không sử dụng được Dirichlet và Abel thì phải tìm cách chặn bất đẵng thức để sử dụng dấu hệu so sánh 1.
Chỉ bằng các cách trên (nhất là xây dựng hàm tương đương) mới có thể nhận biết “thằng” nào là hội tụ, “thằng” nào là phân kỳ chứ không thể nhìn vào thấy ngay được. Bởi nếu nhìn vào “thấy” ngay được thì còn gì là vẻ đẹp của Toán học nữa!? Tuy nhiên, nếu làm nhiều, “level” sẽ lên cao và ta cũng có thể dễ dàng biết hàm f(x) tương đương với hàm g(x) nào. Và từ g(x) ta biết ngay tích phân hội tụ hay phân kỳ.
Các bạn sau này nếu có bài nào không tính được xin vui lòng cho vào topic này nhé!!!
P/S : Có thể lúc đưa là chưa tính được, sau này tính được ta sẽ xóa nó đi. Cám ơn tất cả!!!
Cụ thể :
1. \int xtanxdx Dạng tương tự :\int xcotxdx
2. \int \frac{sinx}{x}dx Dạng tương tự :\int \frac{cosx}{x}dx
3. \int e^{x^2}dx. 4. \int e^xlnxdx. 5. \int \sqrt{lnx}dx. 6. \int \frac{dx}{lnx}
7. \int ln(cosx)dx Dạng tương tự :\int ln(sinx)dx
8. \int cos(x^2)dx Dạng tương tự :\int sin(x^2)dx
9.\int_{}^{}e^{sinx}dx Dạng tương tự : \int_{}^{}e^{cosx}dx
10.\int_{}^{}e^{tanx}dx. Dạng tương tự : \int_{}^{}e^{cotx}dx
11.\int_{}^{}\sqrt{x^3+1}dx. 12.\int_{}^{}\frac{dx}{(e^x+1)(x^2+1)}
12.\int_{}^{}\sqrt{\cos x}dx. Dạng tương tự : \int_{}^{}\sqrt{\sin x}dx
1. Tóm tắt lý thuyết:
2. Bài giải mẫu:
1. Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của tích phân:
Xét:
Rõ ràng:
Muốn vậy, ta sẽ thay thế các vô cùng bé (vô cùng lớn) khi
Ở đây ta có:
Vậy hàm số g(x) cần xét ở đây là:
Mà:
Vậy theo dấu hiệu so sánh ta có:
2.2.Ví dụ 2 : Xét sự hội tụ của tích phân:
Do
Vậy:
Nên:
.
Vậy hàm g(x) cần xét là:
Đến đây dễ kết luận tích phân cần xét là hội tụ.
2.3. Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của tích phân:
Mặc dù,
Vậy không thể xây dựng hàm g(x) tương đương.
Tích phân này cũng không thể sử dụng dấu hiệu Dirichlet để so sánh.
Ta tìm cách chặn hàm f(x) bởi các bất đẳng thức.
Ta có:
Do vậy:
.
Tuy nhiên, ta không thể xét hàm
Do vậy:
Ta phải xét trên các khoảng mà cả f(x) lẫn g(x) đều cùng xác định. Do đó:
Vậy theo dấu hiệu so sánh thì tích phân cần xét phải hội tụ.
>
Chú ý:
Còn về kỹ thuật có thể nói “làm nhiều quen tay”, ta chú ý đến dấu hiệu so sánh 2 để xây dựng hàm g(x) tương đương với hàm f(x) vì khi đó giới hạn của f(x)/g(x) sẽ bằng 1. Và khi đó hai hàm có cùng tính chất. Mà muốn xây dựng hàm g(x) tương đương thì phải thay thế các VCB, VCL có trong f(x) bằng các VCB , VCL tương đương. Lúc đó hàm g(x) chắc chắn sẽ có dạng:
Có lẽ, để nhìn ngay được thì chỉ có cách này.
Nếu trường hợp không thể thay thế các VCB, VCL để xây dựng hàm g(x) được thì ta sẽ chú ý đến các dấu hiệu của định lý Dirichlet và Abel. Còn cuối cùng, nếu vẫn không sử dụng được Dirichlet và Abel thì phải tìm cách chặn bất đẵng thức để sử dụng dấu hệu so sánh 1.
Chỉ bằng các cách trên (nhất là xây dựng hàm tương đương) mới có thể nhận biết “thằng” nào là hội tụ, “thằng” nào là phân kỳ chứ không thể nhìn vào thấy ngay được. Bởi nếu nhìn vào “thấy” ngay được thì còn gì là vẻ đẹp của Toán học nữa!? Tuy nhiên, nếu làm nhiều, “level” sẽ lên cao và ta cũng có thể dễ dàng biết hàm f(x) tương đương với hàm g(x) nào. Và từ g(x) ta biết ngay tích phân hội tụ hay phân kỳ.