Chú ý:Vận dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình

[conangbuongbinh_97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bất đẳng thức(BĐT) là một công cụ để giải nhiều dạng toán khác nhau,đặc biệt là giải phương trinh và hệ phương trình.Sau đây là một số dạng vận dụng BĐT để giải PT và HPT(Tui post lên để mọi người cùng tham khảo.Nếu thấy hay thì nhớ thanks nha):

Dạng 1:Sử dụng BĐT để tạo ra tính đối nghịch của 2 vế trong phương trình
Phương phápùng BĐT để đánh giá 2 vế(vế trái(VT) và vế phải (VP) của PT ,giả sử thu được

[TEX]\left{\begin{VT \geq A}\\{VP \leq A}[/TEX] ​

OR [TEX]\left{\begin{VT=A}\\{VP \geq A}[/TEX]
OR [TEX]\left{\begin{VP=A}\\{VT \geq A}[/TEX]​

Khi đó VP=VT \Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{VT=A}\\{VP=A}[/TEX]
VD 1: Giải phương trình
[TEX]\sqrt{x-4}+\sqrt{6-x}=x^2-10x+27[/TEX]
Giải: đk 4\leqx\leq6
Xét [TEX]VT^2=2+2\sqrt{(x-4)(6-x)}[/TEX]
Áp dụng BĐT côsin,ta có
[TEX]2 \sqrt {(4-x)(6-x)} \leq x-4+6-x=2\\ \Rightarrow VT^2 \leq 4 hay VT \leq 2[/TEX](1)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=5.Lại có
[TEX]VP=x^2-10x+27=(x-5)^2+2\geq2[/TEX](2)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=5
Từ (1)(2) đối chiếu với đk,suy ra PT có nghiệm duy nhất x=5
VD 2:Giải phương trình
[TEX] 4+4x-x^2=|x-1| + |x-2| + | 2x-3| + | 4x-14|[/TEX]
Giải
Ta co:VT=[TEX] | x-1| + | x-2|+| 2x-3| +|4x-14|=| x-1+x-2+2x-3+14-4x |=8 [/tex](3)
Dấu bằng xảy ra khi và chi khi x=2
Mặt khác VT=[TEX]8-(x-2)^2\leq8[/TEX] (4)
Dấu bằng xảy ra khi và chi khi x=2
Từ(3)(4) suy ra PT đã ch có nghiệm duy nhất x=2
​

 

[quan8d]

Góp 1 bài ...............................................
[TEX]x^4+y^4 = 1[/TEX]
[TEX]x^5+y^5 = 1[/TEX]

 

[nganltt_lc]

Góp 1 bài ...............................................
[TEX]x^4+y^4 = 1 \ \ \ \ (1)[/TEX]
[TEX]x^5+y^5 = 1 \ \ \ \ (2)[/TEX]

Trừ vế theo vế của (1) và (2) ta có :

[TEX]x^4 \ + \ y^4 \ - \ x^5 \ - \ y^5 \ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ x^4 (1 \ - \ x) \ + \ y^4 (1 \ - \ y) \ = \ 0 \ \ \ ( * )[/TEX]

Ta có : 1 - x và 1 - y luôn không âm. ( * * )

Thật vậy : Giả sử 1 - x < 0

[TEX]\Leftrightarrow \ x > 1 \ \Rightarrow \ x^4 > 1[/TEX]

Tương tự ta có : [TEX]y > 1 \ \Rightarrow \ y^4 > 1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ x^4 \ + \ y^4 > 2 \ (tra'i \ vs \ gt )[/TEX]

Từ ( * ) và ( * * ) suy ra :
[TEX]\left{\begin{x^4 (1 \ - \ x) \ = \ 0}\\{y^4 (1 \ - \ y) \ = \ 0} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \left{\begin{\left[\begin{x \ = \ 0}\\{x \ = \ 1}}\\{\left[\begin{y \ = \ 0}\\{y \ = \ 1}} [/TEX]

Vậy : Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) = (0;1) ; (1;0)

 

[conangbuongbinh_97]

tiếp nè(cấm các mod ghép bài)

Dạng 2:Sủ dụng BĐT cosin để đưa bất ph­ương trình có nghiệm duy nhất

[]VD 3: Giải ph­ương trình
[TEX]2x^2-11x+21=3 \sqrt[3]{4x-4}[/TEX] (10)
Giải Ta có
[TEX]2x^2-11x+21=(\sqrt{2}x-3 \frac{11}{2 \sqrt{2}}+\frac{47}{8}>0[/TEX]
nên 4x-4>0 hay x>1
Áp dụng BĐT cosin cho 3 sô d­­ương ta được
[TEX]3 \sqrt[3]{4x-4}=3 \sqrt[3]{2.2(x-10)} \leq 2+2+(x-1)=x+3[/TEX] (11)
[TEX]T­u (10)(11) suy ra 2x^2-11x+21 \leq x+3 \\ Hay 2x^2-12x+18 \leq 0 \Leftrightarrow 2(x-3)^2 \leq 0[/TEX]
\Leftrightarrow x=3.Th­u lại ta được x=3 là nghiệm duy nhất của PT (10)