Toán 9 Chu vi tam giác $ADE$ không đổi.

[0937615789]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác đều $ABC$, gọi $M$ là trung điểm của BC. Một góc $xMy$ bằng $60^{0}$ quay quanh điểm $M$ sao cho 2 cạnh $Mx, My$ luôn cắt cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Chứng minh rằng:
a) $BD.CE = BC^2/4 $
b) $DM, EM$ lần lượt là tia phân giác của các góc $BDE$ và $CED. $
c) Chu vi tam giác $ADE$ không đổi.

 

[hdiemht]

View attachment 81058

___________________________________________________
a) [tex]\widehat{BDM}=180^{\circ}-\widehat{DBM}-\widehat{DMB}=120^{\circ}-\widehat{DMB}(*)[/tex]
Mặt khác: [tex]\widehat{EMC}=180^{\circ}-\widehat{EMD}-\widehat{BMD}=120^{\circ}-\widehat{BMD}(*')[/tex]
Từ $(*);(*')$ suy ra: [tex]\widehat{BDM}=\widehat{EMC}[/tex]
Khi đó dễ dàng suy ra: [tex]\Delta BDM\sim \Delta CME(g.g)\Rightarrow BD.CE=CM.MB=\frac{BC^2}{4}[/tex]
b) Ta có: [tex]\frac{EM}{MC}=\frac{EM}{MB}[/tex]
Mà: [tex]\frac{EM}{MC}=\frac{MD}{BD}[/tex]
Khi đó: [tex]\frac{EM}{MB}=\frac{MD}{BD}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{EM}{MD}=\frac{MB}{BD}[/tex]
Mà: [tex]\widehat{DBM}=\widehat{DME}=60^{\circ}\Rightarrow \Delta BDM\sim \Delta MDE(c.g.c)\Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{MDE}\Rightarrow dpcm[/tex]
Tương tự với còn lại
c)
__________________
Gọi $I;H;K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB;DE;AC$
Dễ dàng chứng minh được: $DH=DI;EH=EK$( Chứng minh các tam giác = nhau)
[tex]P_{ADE}=AE+DE+AD=AE+DH+HE+AD=AD+DI+EK+AE=AI+AK[/tex]
Vì $M$ cố định nên $I;K$ cố định nên $AI+AK$ không đổi
Vậy $P_{ADE} $ không đổi