(*) Xét $n^5-n$
Ta có: $n^5 - n= n(n^4-1)=n(n^2-)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Ta thấy: $n(n+1)$ là $2$ số tự nhiên liên tiếp
\Rightarrow $n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ chia hết cho $2$ @};-
Hay $n^5-n$ chia hết cho $2$
(*) Xét $2$ trường hợp: $n$ chia hết cho $5$ và $n$ không chia hết cho $5$
+ Trường hợp 1: $n$ chia hết cho $5$ \Rightarrow $n^5-n$ chia hết cho $5$ (1)
+ Trường hợp 2: $n$ không chia hết cho $5$ \Rightarrow $n=5k+a$ ( với $a=1;2;3;4$)
%%- Với a=1:
$n^5-n=n(5k+1-1)(n+1)(n^2+1)=n.5k.(n+1)(n^2+1)$
\Rightarrow $n^5-n$ chia hết cho $5$ (2)
%%- Với a=2:
$n^5-n=n(n-1)(n+1)[(5k+2)^2+1]=n(n-1)(n+1)[25k^2+20k+4+1]=n(n-1)(n+1)[25k^2+20k+5]$
\Rightarrow $n^5-n$ chia hết cho $5$ (3)
%%- Với a=3:
$n^5-n=n(n-1)(n+1)[(5k+3)^2+1]=n(n-1)(n+1)[25k^2+30k+9+1]=n(n-1)(n+1)[25k^2+30k+10]$
\Rightarrow $n^5-n$ chia hết cho $5$ (4)
%%- Với a=4:
$n^5-n=n(n-1)(5k+4+1)(n^2+1)=n(n-1)(5k+5)(n^2+1)$
\Rightarrow $n^5-n$ chia hết cho $5$ (5)
Từ (1),(2),(3),(4) và (5) \Rightarrow $n^5-n$ luôn chia hết cho $5$ @};-@};-
Từ @};- và @};-@};- \Rightarrow $n^5-n$ luôn chia hết cho $10$
\Rightarrow $n^5-n$ luôn có tận cùng bằng $0$
\Rightarrow $n$ và $n^5$ có chữ số tận cùng giống nhau.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn