Cho x>y>z. Chứng minh biểu thức?

M

manhnguyen0164

Bài giải

Câu 1:$x^4(y-z)+y^4(z-x)+z^4(x-y)$
$=x^4(y-z)+y^4(z-x)-z^4[(y-z)+(z-x)]$
$=x^4(y-z)-z^4(y-z)+y^4(z-x)-z^4(z-x)$
$=(y-z)(x^4-z^4)+(z-x)(y^4-z^4)$
$=(y-z)(x-z)(x+z)(x^2+z^2)+(z-x)(y-z)(y+z)(y^2+z^2)$
$=(y-z)(x-z)[(x+z)(x^2+z^2)-(y+z)(y^2+z^2)]$
$=(y-z)(x-z)(x^3-y^3+xz^2-yz^2+x^2z-y^2z)$
$=(y-z)(x-z)[(x-y)(x^2+xy+y^2)+z^2(x-y)+z(x-y)(x+y)]$
$=(x-y)(y-z)(x-z)(x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz)$
$=\dfrac{1}{2}(x-y)(y-z)(x-z)[(x+y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2]$
Kết hợp với x>y>z ta được đpcm
Câu 2: Ta có $a^5-a=a(a^4-1)=a(a^2-1)(a^2+1)=(a-1)a(a+1)(a^2-4+5)$
$=(a-1)a(a+1)(a^2-4)+5(a-1)a(a+1)=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)+5(a-1)a(a+1)$
Dễ dàng chứng minh được $(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)\vdots30$ và $5(a-1)a(a+1)\vdots30$ . Từ đó ta có đpcm.
 
R

riverflowsinyou1

2) $n^5-n$ chia hết cho $5$ (định lí Fermat)
$n^5-n=n.(n-1)(n+1)(n^2+1)$ chia hết cho $2$ và $3$ \Rightarrow $n^5-n$ chia hết cho $6$ mà $(6,5)=1$ --> $n^5-n$ chia hết cho $30$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom