Toán 9 Cho $x,y,z>0$, $x+y+z=3$. Tìm GTNN của $P=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}$

[kangdaniel2005]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z>0 thõa mản x+y+z=3 tìm GTNN của P =[tex]\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}[/tex]

 

[phuonganhbx]

cho x,y,z>0 thõa mản x+y+z=3 tìm GTNN của P =[tex]\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}[/tex]

Ta có:
[tex]P= \sum \frac{x^4}{xy+2xz}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3(xy+yz+zx)}[/tex] ( bđt CBS dạng Engel)
Mặt khác:
+) Áp dụng CBS
[tex](x^2+y^2+z^2)(1^2+1^2+1^2) \geq (x+y+z)^2=9 \Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq 3[/tex]
+) Áp dụng AM-GM:
[tex]x^2+y^2+y^2+z^2+z^2+x^2 \geq 2(xy+yz+zx) \Rightarrow xy+yz+zx \leq x^2+y^2+z^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3(xy+yz+zx)\leq (x+y+z)^2 \Leftrightarrow xy+yz+zx\leq 3[/tex]
Do đó: [tex]P\geq \frac{3^2}{3.3}=1[/tex]
Vậy minP=1 <=> x=y=z=1