Toán 9 Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x^3+y^3+z^3=24$

[fghjkkkkklqwertyuiooopzxcvbnm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x^3+y^3+z^3=24$ .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\dfrac{xyz+2(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}-\dfrac{8}{xy+yz+zx+1}$



)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

 

[kido2006]

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $a^3+b^3+c^3=24$ .Tìm GTNN của
[tex]M=\dfrac{xyz+2(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}-\dfrac{8}{xy+yz+zx+1}[/tex]

Có : [tex]24=x^3+y^3+z^3\geq^{A-G} 12x+12y+12z-48\\ \Rightarrow 6\geq x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\\ \Rightarrow 8\geq xyz > 0[/tex]
Lại có: [tex]24-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\leq 6(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\\ \Rightarrow 8-xyz\leq 2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=2(x+y+z)^2-6(xy+yz+zx)\\ \Rightarrow 6(xy+yz+zx)+8 \le 2(x+y+z)^2+xyz \le 80 \\ \Rightarrow xy+yz+zx \le 12[/tex]
[tex]\Rightarrow M\geq \dfrac{6(xy+yz+zx)+8}{xy+yz+zx}-\dfrac{8}{xy+yz+zx+1}=\dfrac{6a+8}{a}-\dfrac{8}{a+1}=f(a)[/tex] với $a=xy+yz+zx$

Khảo sát $f(a)$ với $a \in (0,12]$ ta được [tex]M\geq f(a)\geq \frac{236}{39}[/tex]



Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^ !
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...c-mon-danh-cho-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/

 

[fghjkkkkklqwertyuiooopzxcvbnm]

Có : [tex]24=x^3+y^3+z^3\geq^{A-G} 12x+12y+12z-48\\ \Rightarrow 6\geq x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\\ \Rightarrow 8\geq xyz > 0[/tex]
Lại có: [tex]24-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\leq 6(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\\ \Rightarrow 8-xyz\leq 2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=2(x+y+z)^2-6(xy+yz+zx)\\ \Rightarrow 6(xy+yz+zx)+8 \le 2(x+y+z)^2+xyz \le 80 \\ \Rightarrow xy+yz+zx \le 12[/tex]
[tex]\Rightarrow M\geq \dfrac{6(xy+yz+zx)+8}{xy+yz+zx}-\dfrac{8}{xy+yz+zx+1}=\dfrac{6a+8}{a}-\dfrac{8}{a+1}=f(a)[/tex] với $a=xy+yz+zx$

Khảo sát $f(a)$ với $a \in (0,12]$ ta được [tex]M\geq f(a)\geq \frac{236}{39}[/tex]



Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^ !

[tex]\Rightarrow M\geq \dfrac{6(xy+yz+zx)+8}{xy+yz+zx}-\dfrac{8}{xy+yz+zx+1}=\dfrac{6a+8}{a}-\dfrac{8}{a+1}=f(a)[/tex] với $a=xy+yz+zx$
em tưởng xyz[tex]\leq[/tex]8 thì nó phải bị ngược dấu ạ

 

[kido2006]

[tex]\Rightarrow M\geq \dfrac{6(xy+yz+zx)+8}{xy+yz+zx}-\dfrac{8}{xy+yz+zx+1}=\dfrac{6a+8}{a}-\dfrac{8}{a+1}=f(a)[/tex] với $a=xy+yz+zx$
em tưởng xyz[tex]\leq[/tex]8 thì nó phải bị ngược dấu ạ

Mình chưa hiểu câu hỏi của bạn lắm , nhưng mà đoạn đó mình dùng cái này mà nhỉ ?

[tex] 6(xy+yz+zx)+8 \le 2(x+y+z)^2+xyz [/tex]

 

[fghjkkkkklqwertyuiooopzxcvbnm]

em cũng chưa hiểu rõ cách của anh nên anh có thể giải kiểu lớp 9 ko ạ

 

[kido2006]

em cũng chưa hiểu rõ cách của anh nên anh có thể giải kiểu lớp 9 ko ạ

Mình nghĩ bạn chưa hiểu phần cuối thôi nhỉ
Vậy thì quy đồng như thường thui :>
Ta đi chứng minh [tex]f(a)=\dfrac{6a+8}{a}-\dfrac{8}{a+1}\geq \dfrac{236}{39}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2(12-a)(a+13)}{39a(a+1)}\geq 0[/tex]

Điều này luôn đúng do $a \in (0,12]$