Toán 11 Cho $x,y,z>0$ thỏa $2x^2+4y^2+4z^2=5(xy+4yz+zx)$

[Lê Gia An]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z>0 thỏa [tex]2x^2+4y^2+4z^2=5(xy+4yz+zx)[/tex]. Tìm GTLN của P=[tex]\frac{x}{y^2+z^2}-\frac{1}{(x+y+z)^3}[/tex]

Mọi người giúp mình với

 

[kido2006]

Cho x,y,z>0 thỏa [tex]2x^2+4y^2+4z^2=5(xy+4yz+zx)[/tex]. Tìm GTLN của P=[tex]\frac{x}{y^2+z^2}-\frac{1}{(x+y+z)^3}[/tex]

Mọi người giúp mình với

[tex]2x^2+4y^2+4z^2=5(xy+4yz+zx)\\ \Leftrightarrow 2x^2+4(y+z)^2-5x(y+z)=7.4yz\leq 7(y+z)^2\\ \Leftrightarrow 2x^2+4(y+z)^2-5x(y+z)- 7(y+z)^2\leq 0\\ \Rightarrow x\leq 3(y+z)[/tex]
Có [tex]P=\dfrac{x}{y^2+z^2}-\dfrac{1}{(x+y+z)^3}\leq \dfrac{2x}{(y+z)^2}-\dfrac{1}{64(y+z)^3}\leq \dfrac{6}{y+z}-\dfrac{1}{64(y+z)^3}\leq 32\sqrt{2}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow -(8\sqrt{2}(y+z)-1)^2(16\sqrt{2}(y+z)+1)\leq 0[/tex] (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{x}{6}=y=z$



Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^