Toán 9 Cho x,y,z >0 . CMR: [tex]\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2}}+ \frac{z^{2}}{x^{2}} \geq \frac{x

[Trương Hoài Nam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z >0 . CMR: [tex]\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2}}+ \frac{z^{2}}{x^{2}} \geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}[/tex]
@hdiemht

 

[Sweetdream2202]

ta có: [tex]\frac{x^2}{y^2}+1\geq 2.\frac{x}{y}[/tex]
[tex]\frac{y^2}{z^2}+1\geq 2.\frac{y}{z}[/tex]
[tex]\frac{z^2}{x^2}+1\geq 2.\frac{z}{x}[/tex]
suy ra [tex]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+3\geq 2.(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}) <=>\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-3)\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\frac{y}{z}\frac{z}{x}}-3+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=[/tex]

 

[lhanh13121968@gmail.com]

bdt bun-nhi-a-cốp-xki và cô-si ta có
(x/y+y/z+z/x)^2<=3(x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2)
=> A>=1/3(x/y+y/z+z/x)^2
mặt khác cô-si ta thấy cái trên lớn hơn x/y+y/z+z/x(cô-si nhá)

 

[Kaito Kidㅤ]

Đơn giản nhất nó như thế này
Áp dụng BĐT Cauchy có:
[tex]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{z^2}}=2.\frac{x}{z}\\\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq 2\sqrt{\frac{y^2}{z^2}.\frac{z^2}{x^2}}=2.\frac{y}{x}\\\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2}\geq 2\sqrt{\frac{z^2}{x^2}.\frac{x^2}{y^2}}=2.\frac{z}{y}[/tex]
Cộng vế với vế 3 BĐT trên lại có
[tex]2(\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2}}+ \frac{z^{2}}{x^{2}}) \geq 2(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})[/tex]
Giờ chia 2 ở mỗi vế có dpcm

 

[Sweetdream2202]

Đơn giản nhất nó như thế này
Áp dụng BĐT Cauchy có:
[tex]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{z^2}}=2.\frac{x}{z}\\\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq 2\sqrt{\frac{y^2}{z^2}.\frac{z^2}{x^2}}=2.\frac{y}{x}\\\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2}\geq 2\sqrt{\frac{z^2}{x^2}.\frac{x^2}{y^2}}=2.\frac{z}{y}[/tex]
Cộng vế với vế 3 BĐT trên lại có
[tex]2(\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2}}+ \frac{z^{2}}{x^{2}}) \geq 2(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})[/tex]
Giờ chia 2 ở mỗi vế có dpcm

x/y, y/z, z/x chứ k phải y/x, z/y, x/z bạn ơi