Toán 9 Cho $x,y,\sqrt x+\sqrt y\in\mathbb{Q}$. CMR: $\sqrt x,\sqrt y\in\mathbb{Q}$

[Duy Quang Vũ 2007]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho [tex]x,y,\sqrt{x}+\sqrt{y}\in \mathbb{Q}[/tex]. Chứng minh rằng: [tex]\sqrt{x},\sqrt{y}\in \mathbb{Q}[/tex].
Bài 2: Cho [tex]x,y,z,\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\in \mathbb{Q}[/tex]. Chứng minh rằng: [tex]\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\in \mathbb{Q}[/tex].
Đề bài tổng quát sau còn đúng không:
Cho [tex]a_{1},a_{2},...,a_{n},\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}+...+\sqrt{a_{n}}\in \mathbb{Q}[/tex] . Chứng minh rằng: [tex]\sqrt{a_{1}},\sqrt{a_{2}},...,\sqrt{a_{n}}\in \mathbb{Q} (n\in \mathbb{N^{*}})[/tex]

 

[Tiểu Bạch Lang]

Bài 1: Với a hữu tỉ, đặt [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=a\Rightarrow \sqrt{x}=a-\sqrt{y}\Rightarrow x=a^2+y-2a\sqrt{y}[/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt{y}[/tex] là số hữu tỉ.
Mà [TEX]\sqrt{x}+\sqrt{y}[/TEX] là số hữu tỉ
[tex]\Rightarrow \sqrt{x}[/tex] là số hữu tỉ.
Bài 2: Với a là số hữu tỉ, đặt [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=a\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}=a-\sqrt{z}\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=a+z-2a\sqrt{z}[/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt{xy}+a\sqrt{z}[/tex] là số hữu tỉ.
Làm tương tự ta có điều phải chứng minh.
*Bài toán tổng quát là đúng nhé, có thể hiểu cứ giải tương tự, chuyển vế lần lượt từng số vô tỉ sang rồi bình phương thì sẽ chứng minh được thôi nha!
Có gì thắc mắc thì bạn hỏi lại nhé!^^