Toán 8 Cho x, y là các số thực thỏa mãn x + y = 1.

[ankhongu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y là các số thực thỏa mãn x + y = 1. Tìm min của :
A = x^3 + y^3 + 2x^2.y^2

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Cho x, y là các số thực thỏa mãn x + y = 1. Tìm min của :
A = x^3 + y^3 + 2x^2.y^2

[tex]A = x^3 + y^3 + 2x^2.y^2\\\\ =(x+y).(x^2-xy+y^2)+2x^2y^2\\\\ =x^2-xy+y^2+2x^2y^2\\\\ =(x+y)^2-3xy+2x^2y^2\\\\ =(x+y-xy).(x+y-2xy)\\\\ =(1-xy).(1-2xy)[/tex]
giả sử x;y trái dấu => 1-xy > 1
1-2xy >1
=> A>1 (1)
với x;y cùng dấu
giả sử cùng âm => x+y < 0 <1 vô lí
=> x;y cùng dương khi đó:
áp dụng Cauchy có:
[tex]xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\\\\ 2xy\leq \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{1}{2}[/tex]
=> [tex]A\geq (1-\frac{1}{4}).(1-\frac{1}{2})\\\\ =\frac{3}{4}.\frac{1}{2}=\frac{3}{8}[/tex] (2)
từ (1); (2) => [tex]A\geq \frac{3}{8}[/tex]
dấu "=" xảy ra <=> x=y= 1/2
vậy...

 

[ankhongu]

[tex]A = x^3 + y^3 + 2x^2.y^2\\\\ =(x+y).(x^2-xy+y^2)+2x^2y^2\\\\ =x^2-xy+y^2+2x^2y^2\\\\ =(x+y)^2-3xy+2x^2y^2\\\\ =(x+y-xy).(x+y-2xy)\\\\ =(1-xy).(1-2xy)[/tex]
giả sử x;y trái dấu => 1-xy > 1
1-2xy >1
=> A>1 (1)
với x;y cùng dấu
giả sử cùng âm => x+y < 0 <1 vô lí
=> x;y cùng dương khi đó:
áp dụng Cauchy có:
[tex]xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\\\\ 2xy\leq \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{1}{2}[/tex]
=> [tex]A\geq (1-\frac{1}{4}).(1-\frac{1}{2})\\\\ =\frac{3}{4}.\frac{1}{2}=\frac{3}{8}[/tex] (2)
từ (1); (2) => [tex]A\geq \frac{3}{8}[/tex]
dấu "=" xảy ra <=> x=y= 1/2
vậy...

Cảm ơn nhé, bạn giỏi quá. Thế mà lúc đầu tớ cứ nghĩ là sẽ đặt t = xy và rồi tạo bình phương sau khi đã biến đổi nó thành (x + y)^2 - 3xy + 2x^2y^2 = 2x^2y^2 - 3xy + 1. Nếu được thì cậu có thể giải thích lý do mà cậu đã nghĩ đến cách làm này được không vậy ?

 

[shorlochomevn@gmail.com]

Cảm ơn nhé, bạn giỏi quá. Thế mà lúc đầu tớ cứ nghĩ là sẽ đặt t = xy và rồi tạo bình phương sau khi đã biến đổi nó thành (x + y)^2 - 3xy + 2x^2y^2 = 2x^2y^2 - 3xy + 1. Nếu được thì cậu có thể giải thích lý do mà cậu đã nghĩ đến cách làm này được không vậy ?

đầu tiên bạn cần rút gọn nó triệt để... để ý đề bài x+y=1 mà x^3+y^3 => rút gọn được
lại vẫn dụng dữ kiện x+y=1 có x^2-xy+y^2 vẫn có thể viết được vậy =>...
đến bước tích rồi dễ thấy Cauchy cho xy và 2xy
mà đề ko cho dương vậy phải xét trường hơp bắt nó dương rồi áp dụng...:>