Cho $x+y=2$ Tìm GTNN của biểu thức $x^2+xy+y^2$

[lulola]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây là 1 câu trong đề thi HSG toán 8 HN.
Cho $x+y=2$
Tìm GTNN của biểu thức $x^2+xy+y^2$

 

[cchhbibi]

x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy=4-xy
Có: 4xy=(x+y)^2-(x-y)^2=4-(x-y)^2
(x-y)^2\geq0 ~> 4-(x-y)^2\leq4 ~>4xy\leq4 ~> xy\leq1
Dấu = xảy ra <=> a=b
Nên 4-xy\geq3 ~>x^2+xy+y^2\geq3
dấu = xảy ra <=> x=y=1

 

[tung_ndtt]

x^2+xy+y^2 = min => x^2 + 2xy + y^2 - xy = min => ( x + y)^2 - xy = min => 2^2 - xy = min => 4 - xy = min .
Ta co* : Ví` x + y = 2 => x = 1 - k ; y = 1 + k ( Voi k la` mot so bat ki` )
=> 4 - xy = min => 4 - ( 1-k )(1+k) = min => 4 - ( 1 - k^2 ) = min => 3 + k^2 = min .
Vi` k^2 >= 0 => De 3 + k^2 = min => k^2 = min => k^2 = 0 => 3 + k^2 = 3 => GTNN cua x^2+y^2+xy = 3 .

 

[ruacon_a4]

đề thi hsgioi sao lại dễ zậy?????????
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 

[doankhai]

Bài này đã có người post rồi bạn ạ! Bài này cũng đâu khó, tớ xin giải lại:
[TEX]x^2-xy+y^2=(x+y)^2-xy[/TEX]
[TEX]=4-xy[/TEX]
x+y=2\Rightarrowy=2-x
[TEX]4-xy=4-x(2-x)[/TEX]
[TEX]=3+1-2x+x^2[/TEX]
[TEX]=(x-1)^2+3[/TEX]
Mà [TEX](x-1)^2\geq0[/TEX]
\Rightarrow[TEX](x-1)^2+3[/TEX]\geq3
\RightarrowGTNN [TEX]x^2-xy+y^2=3[/TEX]