Cho x,y >0. thỏa mãn x+y =1 .Tìm min x/ căn y^2+1 + y/căn x^2+1
Ta đi chứng minh [tex]\dfrac{x}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{y}{\sqrt{x^2+1}}\geq \dfrac{x+y}{\sqrt{xy+1}}[/tex]
Thật vậy điều đó [tex]\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{y^2+1}}-\dfrac{x}{\sqrt{xy+1}}+\dfrac{y}{\sqrt{x^2+1}}- \dfrac{y}{\sqrt{xy+1}}\geq 0\\ [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{xy(x-y)^2(x+y)[\sqrt{xy+1}+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}]}{\sqrt{(x^2+1)(y^2+1)}(\sqrt{1+xy}+\sqrt{1+x^2})(\sqrt{1+xy}+\sqrt{1+y^2})(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1})}\geq 0 \forall x,y > 0[/tex] (luôn đúng)
Do đó ta có [tex]\dfrac{x}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{y}{\sqrt{x^2+1}}\geq \dfrac{x+y}{\sqrt{xy+1}}\geq\dfrac{x+y}{\sqrt{\dfrac{(x+y)^2}{4}+1}} =\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4}+1}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}2$
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
