Cho tứ giác $ABCD$ có diện tích $S$.

[chulonconthongminh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tứ giác $ABCD$ có diện tích $S$. Gọi $K,L,M,N$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $AB, BC, CA, AD$ sao cho $AK /AB = BL/BC = CM/CD = DN/DA = x$.
a, Xác định vị trí các điểm $K,L,M,N$ sao cho tứ giác $MNLK$ có diện tích nhỏ nhất.
b, Tứ giác $MNKL$ ở câu a là hình gì?. Cần thêm điều kiên gì thì tứ giác $MNLK$ là hình cữ nhật.

 

[luffy_1998]

a.
$S_{NAK} = \dfrac{AN}{AD} . \dfrac{AK}{AB} S_{ABD} = x(1 - x)S_{ABC}$
Tương tự: $S_{MCL} = x(1 - x)S_{BCD}, S_{BKL} = x(1 - x)S_{BAC}, S_{MDN} = x(1 - x)S_{ACD}$
$\rightarrow S_{MNKL} = S - 2x(1 - x)S \ge S - \dfrac{(x + 1 - x)^2S}{2} = \dfrac{1}{2}S$
$\rightarrow S_{MNKL \ min} = \dfrac{1}{2}S \leftrightarrow x = 1 - x \leftrightarrow x = \dfrac{1}{2} \leftrightarrow K, L, M, N$ là trung điểm $AB, BC, CD, AD$
b.
$K, L, M, N$ là trung điểm $AB, BC, CD, AD \rightarrow NK = ML = ( \dfrac{BD}{2} ), NK // ML ( // BD ) \rightarrow MNKL$ là hình bình hành.
Hình bình hành MNKL là hình chữ nhật $\leftrightarrow MN \perp NK \leftrightarrow AC \perp BD$