Toán 9 Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A\, (AB>AC)$

[thanhtra0921285700]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A\, (AB>AC)$ có đường cao $AH$. Gọi $AD$ là phân giác cảu $\widehat{HAB}$
a. Tính các cạnh $AH,AC$ biết $HB=18 cm, HC=8cm$
b. Chứng minh $\triangle ADC$ cân và $HD\cdot Bc=BD\cdot DC$
c. Chứng minh $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB$ và $AC$. Chứng minh $S_{AEF}=S_{ABC}\cdot (1-cos^2 B)\cdot \sin^2 C$

Giúp em câu b,c với ạ

 

[Blue Plus]

b.
Ta có:
$\widehat{CAD}=\widehat{CAB}-\widehat{BAD}=90^\circ-\dfrac12\widehat{BAH}$
$\triangle DAH,\widehat{AHD}=90^\circ$ nên ta có: $\widehat{CDA}+\widehat{DAH}=90^\circ\Rightarrow \widehat{CDA}=90^\circ-\widehat{DAH}=90^\circ-\dfrac12\widehat{BAH}$
Suy ra $\widehat{CAD}=\widehat{CDA}\Rightarrow \triangle CAD$ cân tại $C\Rightarrow AC=DC$
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: $\dfrac{DB}{DH}=\dfrac{AB}{AH}$
Ta cũng có: $\triangle ABC\sim\triangle HAC\Rightarrow \dfrac{AB}{AH}=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{BC}{DC}$
Suy ra $\dfrac{DB}{DH}=\dfrac{BC}{DC}\Rightarrow DB.DC=DH.BC$
c.
$AE.AB=AH^2=AF.AC\Rightarrow \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}$
Suy ra $\triangle AEF\sim \triangle ACB$
Ta có: $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}=k$
$\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=k^2=\dfrac{AE}{AC}.\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AE}{AH}.\dfrac{AH}{AC}.\dfrac{AF}{AH}.\dfrac{AH}{AB}$
Ta có:
$\dfrac{AE}{AH}=\cos BAH=\cos C$
$\dfrac{AH}{AC}=\sin C=\cos B$
$\dfrac{AF}{AH}=\cos CAH=\cos B$
$\dfrac{AH}{AC}=\sin B=\cos C$
Do đó $\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\cos^2B\cos^2C\Rightarrow S_{AEF}=S_{ABC}.(1-\sin^2B)\cos^2C$
Nếu có thắc mắc, bạn cứ hỏi tại đây, tụi mình sẽ hỗ trợ.