Cho $\triangle ABC$ thoả mãn: $\sin B . \cos ^3 C=\sin C . \cos ^3 B$. Chứng minh rằng $\triangle ABC$ cân.
Xét [tex]\left[\begin{matrix} \widehat{B}=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow \widehat{C}=\dfrac{\pi}{2} \\ \widehat{C}=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow \widehat{B}=\dfrac{\pi}{2} \end{matrix}\right.[/tex] (Vô lí)
[tex]\Rightarrow \widehat{B},\widehat{C}\neq \dfrac{\pi}{2}[/tex]
Có [tex]\sin B . \cos ^3 C=\sin C . \cos ^3 B\\ \Leftrightarrow \dfrac{\sin B }{\cos ^3 B}=\dfrac{\sin C }{ \cos ^3 C}\\ \Leftrightarrow \dfrac{\tan B}{\cos^2B}=\dfrac{\tan C}{\cos^2C}\\ \Leftrightarrow \tan^3 B+\tan B=\tan^3 C+\tan C\\ \Leftrightarrow (\tan B-\tan C)(\tan^2 b+\tan ^2 C+\tan B.\tan C+1)=0\\ \Leftrightarrow \tan B=\tan C\\[/tex]
Mặt khác do $A,B,C$ là các góc trong tam giác nên [tex]0 < \widehat{B};\widehat{C} < \pi\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}[/tex]
Do đó $\triangle ABC$ cân
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
