Toán 9 Cho $\triangle ABC$ nhọn, dựng nửa đường tròn tâm O đường kính BC

[Cheems]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $\triangle ABC$ nhọn, dựng nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Qua A vẽ các tiếp tuyến AP, AQ với đường tròn (O), P và Q là tiếp điểm (Q, B nằm cùng phía so với OA). Gọi H là trực tâm $\triangle ABC, M$ là giao điểm của PQ và AO, K là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác MHKO nội tiếp được đường tròn
b. Ba điểm P, H, Q thẳng hàng
c. Các đường thẳng AK, BQ, CP đồng quy
Mong mn giúp em câu c ạ !

 

[vangiang124]

Cho $\triangle ABC$ nhọn, dựng nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Qua A vẽ các tiếp tuyến AP, AQ với đường tròn (O), P và Q là tiếp điểm (Q, B nằm cùng phía so với OA). Gọi H là trực tâm $\triangle ABC, M$ là giao điểm của PQ và AO, K là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác MHKO nội tiếp được đường tròn
b. Ba điểm P, H, Q thẳng hàng
c. Các đường thẳng AK, BQ, CP đồng quy
Mong mn giúp em câu c ạ !

Gọi $N$ là giao điểm của $CQ$ và $BP$, $T$ là giao điểm của $CP$ và $BQ$; $A'$ là trung điểm $TN$

$\widehat{BPC}=\widehat{BQC}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)​

$\implies \triangle BTC$ có hai đường cao $CQ$ và $BP$ cắt nhau tại $N$

$\implies N$ là trực tâm $\triangle BTC \implies TN \perp BC$

$\triangle PTN$ vuông tại $P$ có $PA'$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền

$\implies A'T =A'P \implies \triangle A'PT$ cân tại $A'$

$\implies \widehat{A'PT}=\widehat{A'TP}$ (1)

Ta có $OP=OC=R \implies \triangle OPC$ cân tại $O \implies \widehat{OPC}=\widehat{OCP}$ (2)

Vì $TN \perp BC$ nên $\widehat{PTA'}+\widehat{OCP}=90^\circ$

$\implies \widehat{A'PT}+\widehat{OCP}=90^\circ$ (theo (1) và (2) )

$\implies \widehat{A'PO}=90^\circ \implies A'P \perp OP$ tại $P$, $OP=R$ nên $A'P$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

Chứng minh tương tự ta được $A'x$ cũng là tiếp tuyển của $(O)$ tại $Q$

Suy ra $A \equiv A'$ mà $AH \perp BC \implies H \in TN$

Vậy $CP,BQ,AK$ đồng quy

Cùng tham gia sự kiện này cho vui nhé em
https://diendan.hocmai.vn/threads/a...uom-mam-tet-xanh-cung-tranh-qua-khung.846559/