Cho $\triangle ABC$ có độ dài ba cạch là a,b,c thoả mãn: $a^2 +b^2 >5c^2$. CMR: $c <a; \ c <b$

[girllonely095]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $\triangle ABC$ có độ dài ba cạch là a,b,c thoả mãn: $a^2 +b^2 >5c^2$. CMR: $c <a; \ c <b$

 

[hiensau99]

Bài này lâu rồi mà chưa ai chém nhỉ :">
- Giả sử c \geq a $\Longrightarrow$ 2c\geq a+c. Mà $a+c>b$ (theo BĐT tam giác)
$\Longrightarrow 2c$\geq $a+c>b \Longrightarrow (2c)^2>b^2 \Longrightarrow 4c^2>b^2$ (1)
Mà ta có: $c$ \geq $a \Longrightarrow c^2>a^2 $ (2)
Từ (1) và (2) ta có $5c^2>a^2+b^2$ (trái với giả thiết)
$ \Longrightarrow $ Điều giả sử sai
$ \Longrightarrow c<a$ (đpcm1)

- Giả sử $c$ \geq $b\Longrightarrow 2c$\geq $b+c$. Mà $b+c>a$ (theo BĐT tam giác)
$\Longrightarrow 2c$\geq $b+c>a \Longrightarrow (2c)^2>a^2 \Longrightarrow 4c^2>a^2$ (3)
Mà ta có: $c$ \geq $b \Longrightarrow c^2>b^2 $ (4)
Từ (3) và (4) ta có $5c^2>a^2+b^2$ (trái với giả thiết)
$ \Longrightarrow $ Điều giả sử sai
$ \Longrightarrow c<b$ (đpcm2)