Toán 10 Cho $\triangle ABC$. CMR: $\cot A+\cot B+\cot C=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}$

[Bong Linh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác $ABC$.
a. CMR: $\cot A+\cot B+\cot C=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}$
b. Biết rằng $S=p(p-a)$. Nhận dạng tam giác $ABC$.
c. Tìm điểm $M$ thuộc $BC$ sao cho $MA^2+MB^2+2MC^2$ nhỏ nhất

Mọi người cho em hỏi câu b và c với ạ! Em cảm ơn ạ!

 

[httam12022005]

b/ Ta có công thức diện tích herong [tex]S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
Theo đề bài S=p(p-a) <=> [tex]\sqrt{p(p-a)}= \sqrt{(p-b)(p-c)}[/tex]
=>p(p-a)=(p-b)(p-c)
<=>[tex]\frac{a+b+c}{2}.(\frac{a+b+c}{2}-a)= (\frac{a+b+c}{2}-b).(\frac{a+b+c}{2}-c)[/tex]
<=>[tex]\frac{a+b+c}{2}.\frac{b+c-a}{2}= \frac{a+c-b}{2}.\frac{a+b-c}{2}[/tex]
<=> (b+c+a)(b+c-a)=(a+c-b)(a+b-c)
<=> [tex](b+c)^{2}[/tex]-[tex]a^{2}=a^{2}-(b-c)^{2}[/tex]
<=> [tex]2a^{2}=(b+c)^{2}+(b-c)^{2}[/tex]
<=> [tex]2a^{2}=2(b^{2}+c^{2})[/tex]
<=> [tex]a^{2}=b^{2}+c^{2}[/tex]
<=> Tam giác ABC vuông tại A

 

[Alice_www]

Cho tam giác $ABC$.
a. CMR: $\cot A+\cot B+\cot C=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}$
b. Biết rằng $S=p(p-a)$. Nhận dạng tam giác $ABC$.
c. Tìm điểm $M$ thuộc $BC$ sao cho $MA^2+MB^2+2MC^2$ nhỏ nhất

Mọi người cho em hỏi câu b và c với ạ! Em cảm ơn ạ!

c) $T=MA^2+MB^2+2MC^2$
$=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2+2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})^2$
$=4MI^2+2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC})+IA^2+IB^2+2IC^2$
Chọn I sao cho: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\vec{0}$
$\Rightarrow 2\overrightarrow{IH}+2\overrightarrow{IC}=0$ (H là trung điểm của AB)
$\Rightarrow \overrightarrow{HI}=\overrightarrow{IC}\Rightarrow I$ là trung điểm của $HC$
$\Rightarrow I$ cố định $\Rightarrow IA^2+IB^2+2IC^2$ không đổi
Vậy $T_{min}\Leftrightarrow MI_{min}\Leftrightarrow M$ là hình chiếu của $I$ trên $BC$
Có gì khúc mắc b hỏi lại nhé <3