Cho tổng

[passivedefender]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]2014[/tex] số nguyên tố đầu tiên
a) Tổng của chúng là số chẵn hay số lẻ?
b) Tích của chúng có phải là số chính phương không?
c) Gọi tích của chúng là [tex]P[/tex]. Hỏi [tex]2^{2^{P-1}}+7[/tex] là số nguyên tố hay hợp số?

 

[thangvegeta1604]

a. Trong 2014 số nguyên tố đầu tiên thì có 1 số chẵn (là 2) và 2013 số lẻ. Tổng của 2013 số lẻ sẽ là 1 số lẻ, cộng với số chẵn (là 2) cũng sẽ ra số lẻ. Vậy tổng của 2014 số nguyên tố đầu tiên sẽ là số lẻ.

 

[passivedefender]

Gọi tích [tex]2014[/tex] số nguyên tố đầu tiên là [tex]P=p_{1}p_{2}...p_{2014}[/tex]
[tex]p_{1}=2 \Rightarrow P \vdots 2[/tex] mà [tex]p_{2},p_{3},...,p_{2014}[/tex] đều nguyên tố cùng nhau với [tex]4 \Rightarrow P[/tex] không chia hết cho [tex]4[/tex] mà [tex]P \vdots 2 \Rightarrow P \equiv 2 (mod 4)[/tex]
Giả sử có số [tex]a \epsilon N[/tex] thì [tex]a^{2}[/tex] là số chính phương
Nếu [tex]a \equiv 0 (mod 4)[/tex] thì [tex]a^{2} \equiv 0^{2}=0 (mod 4)[/tex]
Nếu [tex]a \equiv \pm 1 (mod 4)[/tex] thì [tex]a^{2} \equiv (\pm 1)^{2}=1 (mod 4)[/tex]
Nếu [tex]a \equiv 2 (mod 4)[/tex] thì [tex]a^{2} \equiv 2^{2}=4 \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] một số chính phương chia cho [tex]4[/tex] chỉ có số dư là [tex]0[/tex] hoặc [tex]1[/tex] mà [tex]P \equiv 2 (mod 4) \Rightarrow P[/tex] không phải là số chính phương