Toán 9 Cho [tex]x^{4}+y^{4}+z^{4}=3 và x,y,z\geq 0[/tex]. Tìm Min của [tex]A=x^{3}+y^{3}+z^{3}[/tex]

[Vũ Khải Hoàn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]x^{4}+y^{4}+z^{4}=3 và x,y,z\geq 0[/tex]
a, Tìm Min của [tex]A=x^{3}+y^{3}+z^{3}[/tex]
b, Tìm Min của [tex]B=x^{6}+y^{6}+z^{6}[/tex]
Help me ! Thanks trước

 

[Ann Lee]

Cho [tex]x^{4}+y^{4}+z^{4}=3 và x,y,z\geq 0[/tex]
a, Tìm Min của [tex]A=x^{3}+y^{3}+z^{3}[/tex]

a) Vì $x,y,z\geq 0$ và $x^{4}+y^{4}+z^{4}=3$
$\Rightarrow x^{4}\leq 3$
[tex]\Rightarrow 0\leq x\leq \sqrt[4]{3}\\\Rightarrow x^{3}(x-\sqrt[4]{3})\leq 0\\\Leftrightarrow x^{4}-x^{3}\sqrt[4]{3}\leq 0\\\Leftrightarrow x^{4}\leq x^{3}\sqrt[4]{3}\\\Leftrightarrow x^{3}\geq \frac{x^{4}}{\sqrt[4]{3}}[/tex]
Chứng minh tương tự:....
Cộng 3 BĐT cùng chiều ta được:
[tex]A=x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq \frac{x^{4}}{\sqrt[4]{3}}+\frac{y^{4}}{\sqrt[4]{3}}+\frac{z^{4}}{\sqrt[4]{3}}=\frac{3}{\sqrt[4]{3}}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex](x;y;z)=(0;0;\sqrt[4]{3})[/tex] và các hoán vị

Cho [tex]x^{4}+y^{4}+z^{4}=3 và x,y,z\geq 0[/tex]
b, Tìm Min của [tex]B=x^{6}+y^{6}+z^{6}[/tex]

[tex]x^{6}+x^{6}+1\geq 3\sqrt[3]{x^{6}.x^{6}.1}=3.x^{4}\\\Leftrightarrow 2x^{6}\geq 3x^{4}-1[/tex]
Tương tự:...
Suy ra [tex]2B\geq 3(x^{4}+y^4+z^4)-3=3.3-3=6\Rightarrow B\geq 3[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$