Cho [TEX]x^4 + y^4 + z^4 =3[/TEX]
Tìm min của [TEX]x^6 + y^6 + z^6[/TEX]
max của [TEX]x^3 + y^3 + z^3[/TEX]
Ta có $:$ $x^{4}+y^{4}+z^{4}=3 \Rightarrow x^{4}+y^{4}+z^{4}>0 \Rightarrow$ Cả ba số không đồng thời bằng không $\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}>0$
Áp dụng BĐT $3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \geq (a+b+c)^{2}$$,$ ta có $:$
$9=3.3=3(x^{4}+y^{4}+z^{4})=3[(x^{2})^{2}+ (y^{2})^{2}+ (z^{2})^{2}] \geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} \Leftrightarrow 0<x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 3$
Khi đó $:$ Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$$,$ ta có $:$
$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{6} + y^{6} + z^{6})=(x^{2}+y^{2}+z^{2})[(x^{3})^{2}+ (y^{3})^{2}+ (z^{3})^{2}] \geq (x^{4}+y^{4}+z^{4})^{2}=3^{2}=9$
$\Leftrightarrow x^{6} + y^{6} + z^{6} \geq \frac{9}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \geq \frac{9}{3}=3$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}=y^{2}=z^{2} & \\ x^{4}+y^{4}+z^{4}=3 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \cdots$
Tiếp tục áp dụng BĐT $Bunyakovsky$$,$ ta có $:$
$(x^{3}+y^{3}+z^{3})^{2}=(x.x^{2}+y.y^{2}+z.z^{2})^{2} \leq (x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{4}+y^{4}+z^{4})=3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \leq 3.3=9 \Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3} \leq 3$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=z & \\ x^{4}+y^{4}+z^{4}=3 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \cdots$
Vậy $\cdots$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
