Toán 9 Cho [tex]x^{2}+y^{2}=2[/tex] . Tìm Min, Max của: A= [tex]y\sqrt{x+1}+x\sqrt{y+1}[/tex]

[hoophuonganh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Dùng BĐT Bunyakovsky để làm 2 bài sau:
Bài 1: Cho [tex]x^{2}+y^{2}=2[/tex] . Tìm Min, Max của: A= [tex]y\sqrt{x+1}+x\sqrt{y+1}[/tex]
Bài 2: tìm Min, Max của B= [tex]2x+\sqrt{5-x^{2}}[/tex]

 

[Ann Lee]

Bài 1: Cho [tex]x^{2}+y^{2}=2[/tex] . Tìm Min, Max của: A= [tex]y\sqrt{x+1}+x\sqrt{y+1}[/tex]

Bài 1:
Theo BĐT Bunyakovsky ta có:

• [tex](x+y)^2\leq (1^2+1^2)(x^2+y^2)=2.2=4\Rightarrow x+y\leq 2[/tex]
• [tex]A^2=\left ( y\sqrt{x+1}+x\sqrt{y+1} \right )^2\leq (y^2+x^2)(x+1+y+1)=2.(x+y+2)\leq 2(2+2)=8[/tex]

Suy ra [tex]A\leq 2\sqrt{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]x=y=1[/tex]

Bài 2: tìm Min, Max của B= [tex]2x+\sqrt{5-x^{2}}[/tex]

ĐKXĐ: [tex]-\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}[/tex]
+) Theo BĐT Bunyakovsky ta có:
[tex]B^2=(2x+\sqrt{5-x^{2}})^2\leq (2^2+1^2)(x^2+5-x^2)=25\\\Rightarrow B\leq 5[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=2[/TEX]
Vậy max [tex]B=5\Leftrightarrow x=2[/tex]

+) Vì [tex]-\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}[/tex] nên [tex]2x\geq -2\sqrt{5}[/tex]
Lại có [tex]\sqrt{5-x^2}\geq 0[/tex]
Nên [tex]B=2x+\sqrt{5-x^{2}}\geq -2\sqrt{5}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]x=-2\sqrt{5}[/tex]
Vậy min [tex]B=-2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=-\sqrt{5}[/tex]