Toán 9 Cho [tex](\sqrt{x^{2} + 4} + x)(\sqrt{y^{2} + 4} + y) = 4[/tex]...

[Vũ Thế Hưng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex](\sqrt{x^{2} + 4} + x)(\sqrt{y^{2} + 4} + y) = 4[/tex]
a) Chứng minh [tex]\sqrt{x^{2} + 4} - x = \sqrt{y^{2} + 4} + y ;[/tex]
b) Tính [tex]A = \frac{x^{2015} + y^{2015}}{x^{2016} + y^{2016} + 1}.[/tex]

 

[Ann Lee]

Cho [tex](\sqrt{x^{2} + 4} + x)(\sqrt{y^{2} + 4} + y) = 4[/tex]
a) Chứng minh [tex]\sqrt{x^{2} + 4} - x = \sqrt{y^{2} + 4} + y ;[/tex]
b) Tính [tex]A = \frac{x^{2015} + y^{2015}}{x^{2016} + y^{2016} + 1}.[/tex]

a) Ta có [tex]x^{2}\neq x^2+4\Rightarrow x\neq \sqrt{x^2+4}\Leftrightarrow \sqrt{x^2+4}-x\neq 0[/tex]
Xét [tex](\sqrt{x^{2} + 4} + x)(\sqrt{y^{2} + 4} + y) = 4\\\Leftrightarrow(\sqrt{x^{2} + 4} - x)(\sqrt{x^{2} + 4} + x)(\sqrt{y^{2} + 4} + y) = 4(\sqrt{x^{2} + 4} - x)\\\Leftrightarrow (x^2+4-x^2)(\sqrt{y^{2} + 4} + y) = 4(\sqrt{x^{2} + 4} - x)\\\Leftrightarrow \sqrt{y^{2} + 4} + y = \sqrt{x^{2} + 4} - x(1)(dpcm)[/tex]
b) Tương tự câu a được [TEX] \sqrt{x^{2} + 4} + x = \sqrt{y^{2} + 4} - y(2)[/TEX]
Cộng vế với vế của [TEX](1);(2)[/TEX] được [tex]\sqrt{x^{2} + 4} + x + \sqrt{y^{2} + 4} + y= \sqrt{x^{2} + 4} - x+ \sqrt{y^{2} + 4} - y \\\Leftrightarrow 2(x+y)=0\\\Leftrightarrow x+y=0[/tex]
Ta có [tex](x^{2015}+y^{2015})\vdots (x+y)[/tex] nên [tex]x^{2015}+y^{2015}=0\Rightarrow A=0[/tex]

 

[Vũ Thế Hưng]

Giúp mình thêm bài này

Cho biểu thức [tex]P = (\frac{\sqrt{x - 1}}{3 + \sqrt{x - 1}} + \frac{x + 8}{10 - x}) : (\frac{3\sqrt{x - 1} + 1}{x - 3\sqrt{x - 1} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x - 1}} )[/tex]
a) Rút gọn biểu thức [tex]P[/tex]
b) Tính giá trị của [tex]P[/tex] khi [tex]x = \sqrt[4]{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}} - \sqrt[4]{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}}[/tex]

 

[Ann Lee]

Giúp mình thêm bài này

Cho biểu thức [tex]P = (\frac{\sqrt{x - 1}}{3 + \sqrt{x - 1}} + \frac{x + 8}{10 - x}) : (\frac{3\sqrt{x - 1} + 1}{x - 3\sqrt{x - 1} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x - 1}} )[/tex]
a) Rút gọn biểu thức [tex]P[/tex]
b) Tính giá trị của [tex]P[/tex] khi [tex]x = \sqrt[4]{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}} - \sqrt[4]{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}}[/tex]

a) ĐKXĐ:....
Đặt [tex]\sqrt{x-1}=a(a> 0)\Rightarrow x=a^2+1[/tex]
Khi đó [tex]P=\left ( \dfrac{a}{3+a}+\dfrac{a^2+1+8}{10-(a^2+1)} \right ):\left ( \dfrac{3a+1}{a^2+1-3a-1}-\dfrac{1}{a} \right )\\=\left ( \dfrac{a}{3+a}+\dfrac{a^2+9}{9-a^2} \right ):\left ( \dfrac{3a+1}{a^2-3a}-\dfrac{1}{a} \right )\\=\dfrac{a(3-a)+a^2+9}{(3+a)(3-a)}:\dfrac{3a+1-(a-3)}{a(a-3)}\\=\dfrac{3a+9}{(3+a)(3-a)}:\dfrac{2a+4}{a(a-3)}\\=\dfrac{3}{3-a}.\dfrac{a(a-3)}{2a+4}\\=\dfrac{-3a}{2a+4}\\=\dfrac{-3\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}+4}[/tex]
b) Xét [tex]x = \sqrt[4]{\dfrac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}} - \sqrt[4]{\dfrac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}}\\\Leftrightarrow x=\sqrt[4]{\dfrac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)^2}}-\sqrt[4]{\dfrac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}+1)^2}}\\\Leftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}-\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\\\Leftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1}}-\sqrt{\dfrac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}}\\\Leftrightarrow x=\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1)=2[/tex]
Thay vào $P$ và tính.

 

[Vũ Hữu Bình]

a) Ta có [tex]x^{2}\neq x^2+4\Rightarrow x\neq \sqrt{x^2+4}\Leftrightarrow \sqrt{x^2+4}-x\neq 0[/tex]
Xét [tex](\sqrt{x^{2} + 4} + x)(\sqrt{y^{2} + 4} + y) = 4\\\Leftrightarrow(\sqrt{x^{2} + 4} - x)(\sqrt{x^{2} + 4} + x)(\sqrt{y^{2} + 4} + y) = 4(\sqrt{x^{2} + 4} - x)\\\Leftrightarrow (x^2+4-x^2)(\sqrt{y^{2} + 4} + y) = 4(\sqrt{x^{2} + 4} - x)\\\Leftrightarrow \sqrt{y^{2} + 4} + y = \sqrt{x^{2} + 4} - x(1)(dpcm)[/tex]
b) Tương tự câu a được [TEX] \sqrt{x^{2} + 4} + x = \sqrt{y^{2} + 4} - y(2)[/TEX]
Cộng vế với vế của [TEX](1);(2)[/TEX] được [tex]\sqrt{x^{2} + 4} + x + \sqrt{y^{2} + 4} + y= \sqrt{x^{2} + 4} - x+ \sqrt{y^{2} + 4} - y \\\Leftrightarrow 2(x+y)=0\\\Leftrightarrow x+y=0[/tex]
Ta có [tex](x^{2015}+y^{2015})\vdots (x+y)[/tex] nên [tex]x^{2015}+y^{2015}=0\Rightarrow A=0[/tex]

Tại sao [tex]x^{2015} + y^{2015}[/tex] lại chia hết cho [tex]x + y[/tex] ạ?

 

[Ann Lee]

Tại sao [tex]x^{2015} + y^{2015}[/tex] lại chia hết cho [tex]x + y[/tex] ạ?

Có [tex]x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}-x^{n-4}y^3+...+y^{n-1})[/tex] với [tex]n\in \mathbb{N}[/tex]; n lẻ
nên [tex](x^n+y^n)\vdots (x+y)[/tex]
Áp dụng với $n=2015$ thì ta được điều bạn hỏi.
Được áp dụng trực tiếp [tex](x^n+y^n)\vdots (x+y)[/tex] nhé bạn.

 

[Vũ Thế Hưng]

a) Ta có [tex]x^{2}\neq x^2+4\Rightarrow x\neq \sqrt{x^2+4}\Leftrightarrow \sqrt{x^2+4}-x\neq 0[/tex]
Xét [tex](\sqrt{x^{2} + 4} + x)(\sqrt{y^{2} + 4} + y) = 4\\\Leftrightarrow(\sqrt{x^{2} + 4} - x)(\sqrt{x^{2} + 4} + x)(\sqrt{y^{2} + 4} + y) = 4(\sqrt{x^{2} + 4} - x)\\\Leftrightarrow (x^2+4-x^2)(\sqrt{y^{2} + 4} + y) = 4(\sqrt{x^{2} + 4} - x)\\\Leftrightarrow \sqrt{y^{2} + 4} + y = \sqrt{x^{2} + 4} - x(1)(dpcm)[/tex]
b) Tương tự câu a được [TEX] \sqrt{x^{2} + 4} + x = \sqrt{y^{2} + 4} - y(2)[/TEX]
Cộng vế với vế của [TEX](1);(2)[/TEX] được [tex]\sqrt{x^{2} + 4} + x + \sqrt{y^{2} + 4} + y= \sqrt{x^{2} + 4} - x+ \sqrt{y^{2} + 4} - y \\\Leftrightarrow 2(x+y)=0\\\Leftrightarrow x+y=0[/tex]
Ta có [tex](x^{2015}+y^{2015})\vdots (x+y)[/tex] nên [tex]x^{2015}+y^{2015}=0\Rightarrow A=0[/tex]

Làm sao để ra được 2(x + y) = 0 ạ?

 

[Ann Lee]

Làm sao để ra được 2(x + y) = 0 ạ?

[tex]\sqrt{x^{2} + 4} + x + \sqrt{y^{2} + 4} + y= \sqrt{x^{2} + 4} - x+ \sqrt{y^{2} + 4} - y\\\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 4} + x + \sqrt{y^{2} + 4} + y- \sqrt{x^{2} + 4} + x- \sqrt{y^{2} + 4} + y=0\\\Leftrightarrow 2(x+y)=0[/tex]