Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
(a+2b)2=a2+4b2+4ab=a2+4b2+2.ab≤a2+4b2+2(a2+b2)=3(a2+2b2)⇒a2+2b2≥3(a+2b)2
⇒a2+2b2a+2b≤3(a+2b)2a+2b=a+2b3=31.a+b+b9≤31(a1+b1+b1)
Tương tự:
b2+2c2b+2c≤31(b1+c1+c1);c2+2a2c+2a≤31(c1+a1+a1)
Cộng vế với vế 3 BĐT cũng chiều trên ta được:
a2+2b2a+2b+b2+2c2b+2c+c2+2a2c+2a≤31(a3+b3+c3)=a1+b1+c1(dpcm)
Dấu = xảy ra khi
a=b=c