Toán 9 Cho [TEX]a;b;c>0[/TEX]. CMR: a+2ba2+2b21a\sum \frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}\leq \sum \frac{1}{a}

tuanvt2004

Học sinh
Thành viên
5 Tháng sáu 2014
25
7
21
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a;b;c>0a;b;c>0. Chứng minh rằng
a+2ba2+2b2+b+2cb2+2c2+c+2ac2+2a21a+1b+1c\frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}+\frac{b+2c}{b^{2}+2c^{2}}+\frac{c+2a}{c^{2}+2a^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}
 
Last edited by a moderator:

Ann Lee

Cựu Mod Toán
Thành viên
14 Tháng tám 2017
1,782
2,981
459
Hưng Yên
Cho a;b;c>0a;b;c>0. Chứng minh rằng
a+2ba2+2b2+b+2cb2+2c2+c+2ac2+2a21a+1b+1c\frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}+\frac{b+2c}{b^{2}+2c^{2}}+\frac{c+2a}{c^{2}+2a^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
(a+2b)2=a2+4b2+4ab=a2+4b2+2.aba2+4b2+2(a2+b2)=3(a2+2b2)a2+2b2(a+2b)23(a+2b)^{2}=a^{2}+4b^{2}+4ab=a^{2}+4b^{2}+2.ab\leq a^{2}+4b^{2}+2(a^{2}+b^{2})=3(a^{2}+2b^{2})\Rightarrow a^{2}+2b^{2}\geq \frac{(a+2b)^{2}}{3}
a+2ba2+2b2a+2b(a+2b)23=3a+2b=13.9a+b+b13(1a+1b+1b)\Rightarrow \frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}\leq \frac{a+2b}{\frac{(a+2b)^{2}}{3}}=\frac{3}{a+2b}=\frac{1}{3}.\frac{9}{a+b+b}\leq \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b} \right )
Tương tự: b+2cb2+2c213(1b+1c+1c);c+2ac2+2a213(1c+1a+1a)\frac{b+2c}{b^{2}+2c^{2}}\leq \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c} \right );\frac{c+2a}{c^{2}+2a^{2}}\leq \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a} \right )
Cộng vế với vế 3 BĐT cũng chiều trên ta được:
a+2ba2+2b2+b+2cb2+2c2+c+2ac2+2a213(3a+3b+3c)=1a+1b+1c(dpcm)\frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}+\frac{b+2c}{b^{2}+2c^{2}}+\frac{c+2a}{c^{2}+2a^{2}}\leq\frac{1}{3}\left ( \frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c} \right )=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}(dpcm)
Dấu = xảy ra khi a=b=ca=b=c
 

Bắc Băng Dương

Học sinh chăm học
Thành viên
26 Tháng sáu 2018
296
146
51
Hà Nội
THCS Hai Bà Trưng
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
(a+2b)2=a2+4b2+4ab=a2+4b2+2.aba2+4b2+2(a2+b2)=3(a2+2b2)a2+2b2(a+2b)23(a+2b)^{2}=a^{2}+4b^{2}+4ab=a^{2}+4b^{2}+2.ab\leq a^{2}+4b^{2}+2(a^{2}+b^{2})=3(a^{2}+2b^{2})\\\Rightarrow a^{2}+2b^{2}\geq \frac{(a+2b)^{2}}{3}
a+2ba2+2b2a+2b(a+2b)23=3a+2b=13.9a+b+b13(1a+1b+1b)\Rightarrow \frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}\leq \frac{a+2b}{\frac{(a+2b)^{2}}{3}}=\frac{3}{a+2b}=\frac{1}{3}.\frac{9}{a+b+b}\leq \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b} \right )
Tương tự: b+2cb2+2c213(1b+1c+1c);c+2ac2+2a213(1c+1a+1a)\frac{b+2c}{b^{2}+2c^{2}}\leq \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c} \right );\frac{c+2a}{c^{2}+2a^{2}}\leq \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a} \right )
Cộng vế với vế 3 BĐT cũng chiều trên ta được:
a+2ba2+2b2+b+2cb2+2c2+c+2ac2+2a213(3a+3b+3c)=1a+1b+1c(dpcm)\frac{a+2b}{a^{2}+2b^{2}}+\frac{b+2c}{b^{2}+2c^{2}}+\frac{c+2a}{c^{2}+2a^{2}}\leq\frac{1}{3}\left ( \frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c} \right )=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}(dpcm)
Dấu = xảy ra khi a=b=ca=b=c
bạn giải thích rõ hơn đc k, mk k hiểu dòng thứ 2
 

Ann Lee

Cựu Mod Toán
Thành viên
14 Tháng tám 2017
1,782
2,981
459
Hưng Yên
bạn giải thích rõ hơn đc k, mk k hiểu dòng thứ 2
Dòng thứ 2, chỗ 13.9a+b+b13(1a+1b+1b)\frac{1}{3}.\frac{9}{a+b+b}\leq \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b} \right ) á.
BĐT phụ: 9x+y+z1x+1y+1z\frac{9}{x+y+z}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}
Chứng minh:
1x+1y+1z31xyz3 \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}
x+y+z3xyz3x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}
Suy ra: (1x+1y+1z)(x+y+z)91x+1y+1z9x+y+z(dpcm)\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )(x+y+z)\geq 9\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}(dpcm)
Dấu = xảy ra khi x=y=z
Còn nhiều cách để chứng minh BĐT phụ này nữa, bạn tự tìm hiểu.
 
Top Bottom