$Kẻ CK \perp \; AB tại K ,kẻ MI \perp \; CK tại I$
Gọi khoảng cách từ M đến AB cắt AB là F,gọi khoảng cách từ M đến AC cắt AC là E
\Rightarrow$MF \perp \; AB ,ME \perp \; AC $
Xét tứ giác MIKF có :
\begin{cases} \widehat{IKF}= 90^o \\ \widehat{IKF}= 90^o \\ \widehat{MIK}=90^o \end{cases}
\Rightarrowtứ giác MIKF là hình chữ nhật
\Rightarrow MF=IK (1) và $\widehat{FMI}$=$90^o$
Lại có:$\widehat{B}=60^o$
\Rightarrow $\widehat{FMB}$ = $90^o-60^o$=$30^o$
\Rightarrow$\widehat{FMB}$+$\widehat{FMI}$+ $\widehat{IMC}$ = $180^o$(kề bù)
\Rightarrow$30^o$+$90^o$+$\widehat{IMC}$=$180^o$
\Rightarrow$\widehat{IMC}$=$60^o$
Chứng minh tương tự : $\widehat{ECM}$=$60^o$
Mặt khác :CK là đường cao trong $\bigtriangleup đều CAB $
\RightarrowCK là đường phân giác trong $\bigtriangleup đều CAB $
\Rightarrow$\widehat{KCB}$=$\widehat{KCA}$=$\frac{60^o}{2}$=$30^o$
Ta lại có:$\widehat{ECM}$+ $\widehat{CME}$=$90^o$(tổng 2 góc trong tam giác vuông)
\Leftrightarrow $\widehat{CME}$+$60^o$=$90^o$
\Rightarrow $\widehat{CME}$=$30^o$
Xét $\bigtriangleup IMC$ và $\bigtriangleup ECM$ có :
\begin{cases} \widehat{IMC}= \widehat{ECM}(=60^o) \\ \widehat{ICM}= \widehat{EMC}(=30^o) \\ MC : cạnh chung \end{cases}
\Rightarrow $\bigtriangleup IMC$ = $\bigtriangleup ECM$ ( g.c.g)
\Rightarrow ME = IC ( 2 cạnh tương ứng) (2)
Từ (1), (2) \RightarrowMF+ME = IK + IC = KC
Mà CK = AH ( 2 đường cao của tam giác đều)
\Rightarrow AH= MF + ME (đpcm)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn