b) Ta thấý [imath]\widehat{FHP}=\widehat{EHQ} \Rightarrow \widehat{FHP}=\widehat{PHB} \Rightarrow HP[/imath] là phân giác [imath]\widehat{FHB}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{HF}{PF}=\dfrac{HB}{BP}=\dfrac{HF+HB}{BF}[/imath]
Mặt khác [imath]\dfrac{HF}{PF}=\dfrac{HE}{QE}=\tan \widehat{APQ}[/imath] và chứng minh tương tự ta được [imath]\dfrac{HE}{QE}=\dfrac{HE+HC}{EC}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{HF+HB}{BF}=\dfrac{HE+HC}{EC}=\dfrac{HF+HB+HE+HC}{BF+EC}=\dfrac{BE+CF}{BF+EC}[/imath]
Lại có: [imath]AB \cdot FC=AC \cdot BE \Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BE}{CF} \Rightarrow \dfrac{AB-AC}{AC}=\dfrac{BE-CF}{CF}[/imath]
Ta cần chứng minh [imath]\dfrac{BE+CF}{BF+EC}=\dfrac{HB-HC}{AB-AC}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (HB-HC)(BF+EC)=(AB-AC)(BE+CF)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow HB \cdot EC - HC \cdot BF + HB \cdot BF-HC \cdot EC=AB \cdot CF-AC \cdot BE+AB \cdot BE-AC \cdot CF[/imath]
Vì [imath]\dfrac{HB}{BF}=\dfrac{HC}{EC}[/imath] nên [imath]HB \cdot EC=HC \cdot BF[/imath]
Từ đó ta cần chứng minh [imath]HB \cdot BF-HC \cdot EC=AB \cdot BE-AC \cdot CF \Leftrightarrow HB \cdot BF+AC \cdot CF=AB \cdot BE+HC \cdot EC[/imath]
Lại có: [imath]\dfrac{HB}{BF}=\dfrac{HC}{CE}=\dfrac{AC}{CF}=\dfrac{AB}{BE}=\dfrac{1}{\cos A}[/imath]
Từ đó ta cần chứng minh [imath]\dfrac{1}{\cos A}(HB^2+AC^2)=\dfrac{1}{\cos A}(HC^2+AB^2)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow HB^2+AC^2=HC^2+AB^2 \Leftrightarrow (HD^2+DB^2)+(AD^2+DC^2)=(HD^2+DC^2)+(AD^2+DB^2)[/imath]
c) Gọi [imath]G[/imath] là giao điểm của [imath](AEF)[/imath] với [imath](APQ)[/imath].
Khi đó vì [imath]\Delta APQ[/imath] cân tại [imath]A[/imath] nên [imath]AK[/imath] là đường kính [imath](APQ)[/imath].
Từ đó [imath]\widehat{AGH}=\widehat{AGK}=90^o[/imath] nên [imath]G,H,K[/imath] thẳng hàng.
Lại có: [imath]K[/imath] là điểm chính giữa cung [imath]PQ[/imath] nên [imath]GK[/imath] là phân giác [imath]\widehat{PGQ}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{GP}{GQ}=\dfrac{HP}{HQ}[/imath]
Mà [imath]\widehat{HBP}=\widehat{HCQ}, \widehat{HPB}=180^o-\widehat{APQ}=180^o-\widehat{AQP}=\widehat{HQC}[/imath]
[imath]\Rightarrow \Delta HBP \sim \Delta HCQ[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{HP}{HQ}=\dfrac{BP}{CQ}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{GP}{GQ}=\dfrac{BP}{CQ}[/imath]
Lại có: [imath]\widehat{GPB}=\widehat{GQC} \Rightarrow \Delta GPB \sim \Delta GQC \Rightarrow \widehat{PGB}=\widehat{QGC} \Rightarrow \widehat{BGC}=\widehat{PGQ}=\widehat{BAC}[/imath]
[imath]\Rightarrow GACB[/imath] nội tiếp
[imath]\Rightarrow G \in (O)[/imath]
Vẽ đường kính [imath]AI[/imath] của [imath](O)[/imath] thì ta thấy [imath]BH \parallel CI, CH \parallel BI[/imath] nên [imath]BHCI[/imath] là hình bình hành.
[imath]\Rightarrow H,M,I[/imath] thẳng hàng.
Lại có: [imath]\widehat{AGH}=\widehat{AGI}=90^o \Rightarrow H,G,I[/imath] thẳng hàng
[imath]\Rightarrow G,H,M[/imath] thẳng hàng
Mà [imath]G,H,K[/imath] thẳng hàng nên [imath]H,K,M[/imath] thẳng hàng.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Ôn tập toán các dạng bài hình học 9
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
