Toán 9 Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB>AC$), có đường cao $AH$

[loantrinhthi1975@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB>AC$), có đường cao $AH$.
a. Cho $AB=4\text{cm}; AC=3\text{cm}$. Tính độ dài các đoạn thẳng $BC,AH$.
b. Vẽ đường tròn tâm $C$, bán kính $CA$. Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $(C)$ tại điểm thứ hai $D$. Chứng minh $BD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C)$.
c. Qua $C$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt các tia $BA, BD$ theo thứ tự tại $E,F$. Trên cung nhỏ $AD$ của $(C)$ lấy điểm $M$ bất kì, qua $M$ kẻ tiếp tuyến với $(C)$ cắt $AB,BD$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh $PE.QF=\dfrac{EF^2}4$.



Giúp mình câu c với ạ. Lời giải chi tiết nha

 

[Blue Plus]

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB>AC$), có đường cao $AH$.
a. Cho $AB=4\text{cm}; AC=3\text{cm}$. Tính độ dài các đoạn thẳng $BC,AH$.
b. Vẽ đường tròn tâm $C$, bán kính $CA$. Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $(C)$ tại điểm thứ hai $D$. Chứng minh $BD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C)$.
c. Qua $C$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt các tia $BA, BD$ theo thứ tự tại $E,F$. Trên cung nhỏ $AD$ của $(C)$ lấy điểm $M$ bất kì, qua $M$ kẻ tiếp tuyến với $(C)$ cắt $AB,BD$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh $PE.QF=\dfrac{EF^2}4$.

$PM,PA$ là 2 tiếp tuyến của $(C)$ nên $PC$ là phân giác $\widehat{MPA},CP$ là phân giác $\widehat{MCA}$
$PC$ là phân giác $\widehat{MPA}\Rightarrow \widehat{QPC}=\widehat{EPC}(1)$
$CP$ là phân giác $\widehat{MCA}\Rightarrow \widehat{MCP}=\dfrac12\widehat{MCA}(2)$
$QM,QD$ là 2 tiếp tuyến của $(C)$ nên $QC$ là phân giác $\widehat{MQD},CQ$ là phân giác $\widehat{MCD}$
$QC$ là phân giác $\widehat{MQD}\Rightarrow \widehat{PQC}=\widehat{FQC}(3)$
$CQ$ là phân giác $\widehat{MCD}\Rightarrow \widehat{MCQ}=\dfrac12\widehat{MCD}(4)$

Trong tứ giác $ABDC$: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^\circ\Rightarrow \widehat{ABD}+\widehat{ACD}=180^\circ\Rightarrow \widehat{ACD}=180^\circ-\widehat{ABD}$
Từ $(2)$ và $(4)$: $\widehat{PCQ}=\widehat{MCP}+\widehat{MCQ}=\dfrac12(\widehat{MCA}+\widehat{MCD}=\dfrac12\widehat{ACD}=\dfrac{180^\circ-\widehat{ABD}}2(5)$

$AD\perp BC;EF\perp BC\Rightarrow EF\parallel AD$
Trong $\triangle BEF$, có $EF\parallel AD$, áp dụng định lí Ta-lét ta có:
$\dfrac{BA}{BE}=\dfrac{BD}{BF}$
mà $BA=BD\Rightarrow BE=BF\Rightarrow \triangle BEF$ cân tại $B$
$\Rightarrow \widehat{BEF}=\widehat{BFE}=\dfrac{180^\circ-\widehat{EBF}}2(6)$
Từ $(5)$ và $(6)$ ta có $\widehat{BEF}=\widehat{BFE}=\widehat{PCQ}$

Ta chứng minh được $\triangle EPC\sim \triangle CPQ$ và $\triangle CPQ\sim \triangle FCQ$
Suy ra $\triangle EPC\sim \triangle FCQ\Rightarrow \dfrac{EP}{FC}=\dfrac{EC}{FQ}\Rightarrow EP.FQ=EC.FC$
$\triangle BEF$ cân tại $B$ có đường cao $BC$ nên $BC$ cũng là đường trung tuyến $\Rightarrow EC=FC=\dfrac{EF}2$
Suy ra $EP.FQ=\left(\dfrac{EF}2\right)^2=\dfrac{EF^2}4$

Nếu có thắc mắc, bạn cứ hỏi tại đây, tụi mình sẽ hỗ trợ.