Cho tam giác ABC nhọn và O nằm trong tam giác. Các tia AO,BO,CO lần lượt cắt BC,AC,AB tại M,N,P.Xác định O để AM/OM + BN/ON + CP/OP đạt GTNN
-Xét tam giác AMC và tam giác COM có chung đỉnh C và cùng chiều cao
=> [tex]\frac{S AMC}{S COM}=\frac{AM}{OM}[/tex]
-Xét tam giác ABM và tam giác BOM có chung đỉnh B và cùng chiều cao
=> [tex]\frac{SABM}{SBOM}=\frac{AM}{OM}\\\\ => \frac{AM}{OM}=\frac{SAMC}{SMOC}=\frac{SABM}{SBOM}=\frac{SAMC + SABM}{SMOC+ SBOM}=\frac{SABC}{SBOC}[/tex]
CMTT có: [tex]\frac{BN}{ON}=\frac{SABC}{SAOC}\\\\ \frac{CP}{OP}=\frac{SABC}{SAOB}\\\\ => \frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\\\\ =\frac{SABC}{SBOC}+\frac{SABC}{SAOC}+\frac{SABC}{SAOB}\\\\ =SABC.(\frac{1}{SBOC}+\frac{1}{SAOC}+\frac{1}{SAOB})\\\\ \geq SABC.\frac{(1+1+1)^2}{SBOC+SAOC+SAOB}=9[/tex]
(BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức)
dấu "=" <=> SBOC=SAOC=SAOB <=> O là trọng tâm của tam giác
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
