Toán 9 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có AB < AC

[vothuy.tanhung@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có AB < AC. Gọi M thuộc cạnh BC khác B và C, AM cắt (O) tại D khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD cắt AC tại E, đường tròn ngoại tiếp tam giác MBD cắt AB tại F khác B.
a) Chứng minh 2 tam giác ECD và FBD đồng dạng và E, M, F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng OA vuông góc EF.
Giúp mk bài này với. Mk đang cần gấp ạ.

 

[vangiang124]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có AB < AC. Gọi M thuộc cạnh BC khác B và C, AM cắt (O) tại D khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD cắt AC tại E, đường tròn ngoại tiếp tam giác MBD cắt AB tại F khác B.
a) Chứng minh 2 tam giác ECD và FBD đồng dạng và E, M, F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng OA vuông góc EF.
Giúp mk bài này với. Mk đang cần gấp ạ.

a) Đầu tiên chứng minh tứ giác BMDF nội tiếp đường tròn
Suy ra $\widehat{FBD}=\widehat{FMD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{FD}$)
Mà tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O) nên $\widehat{FBD}=\widehat{ACD}$ (Tính chất góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

$\implies \widehat{FMD}=\widehat{ACD}$

Kết hợp với tứ giác $MDCE$ nội tiếp đường tròn nên ta có $\widehat{ACD}+\widehat{EMD}=180^\circ$

$\implies \widehat{FMD}+\widehat{EMD}=180^\circ$

Suy ra $E,M,F$ thẳng hàng

Xét $\triangle ECD$ và $\triangle FBD$ ta có:

$\widehat{FBD}=\widehat{DCE}$ (tính chất góc ngoài tứ giác nội tiếp)

$\widehat{BDF}=\widehat{EDC} \quad (\widehat{BDF}=\widehat{BMF}=\widehat{CME}=\widehat{EDC})$

Vậy $\triangle ECD \sim \triangle FBD$ (g-g)

b) Dựng đường kính $AT$ của $(O)$. Gọi $K$ là giao điểm $È$ và $AO$

Ta có: $\widehat{AEF}=\widehat{ADC}=\dfrac12 sđ \overparen{AC}$

Mà $\widehat{CAT}=\dfrac12 sđ \overparen{CT}$ nên

$\widehat{AEF}+\widehat{CAT}=\dfrac12 sđ \overparen{AT}=90^\circ$

Xét $\triangle AEK$ ta có

$\widehat{AEF}+\widehat{KAE}+\widehat{AKE}=180^\circ$

$\iff 90^\circ + \widehat{AKE}=1180^\circ$

$\implies \widehat{AKE}=90^\circ$

$\implies AO \perp EF$


Khuya rồi nên chị không tiện vẽ hình lắm nên em vẽ hình ra rồi xem lời giải nha, có chỗ nào thắc mắc thì hỏi lại nhé, chúc em ngủ ngon

À quên, em tham khảo thêm topic này nhé
Tổng hợp topic ôn thi học kì

 

[vothuy.tanhung@gmail.com]

a) Đầu tiên chứng minh tứ giác BMDF nội tiếp đường tròn
Suy ra $\widehat{FBD}=\widehat{FMD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{FD}$)
Mà tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O) nên $\widehat{FBD}=\widehat{ACD}$ (Tính chất góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

$\implies \widehat{FMD}=\widehat{ACD}$

Kết hợp với tứ giác $MDCE$ nội tiếp đường tròn nên ta có $\widehat{ACD}+\widehat{EMD}=180^\circ$

$\implies \widehat{FMD}+\widehat{EMD}=180^\circ$

Suy ra $E,M,F$ thẳng hàng

Xét $\triangle ECD$ và $\triangle FBD$ ta có:

$\widehat{FBD}=\widehat{DCE}$ (tính chất góc ngoài tứ giác nội tiếp)

$\widehat{BDF}=\widehat{EDC} \quad (\widehat{BDF}=\widehat{BMF}=\widehat{CME}=\widehat{EDC})$

Vậy $\triangle ECD \sim \triangle FBD$ (g-g)

b) Dựng đường kính $AT$ của $(O)$. Gọi $K$ là giao điểm $È$ và $AO$

Ta có: $\widehat{AEF}=\widehat{ADC}=\dfrac12 sđ \overparen{AC}$

Mà $\widehat{CAT}=\dfrac12 sđ \overparen{CT}$ nên

$\widehat{AEF}+\widehat{CAT}=\dfrac12 sđ \overparen{AT}=90^\circ$

Xét $\triangle AEK$ ta có

$\widehat{AEF}+\widehat{KAE}+\widehat{AKE}=180^\circ$

$\iff 90^\circ + \widehat{AKE}=1180^\circ$

$\implies \widehat{AKE}=90^\circ$

$\implies AO \perp EF$


Khuya rồi nên chị không tiện vẽ hình lắm nên em vẽ hình ra rồi xem lời giải nha, có chỗ nào thắc mắc thì hỏi lại nhé, chúc em ngủ ngon

À quên, em tham khảo thêm topic này nhé
Tổng hợp topic ôn thi học kì

Cho em hỏi là nếu ko sử dụng [tex]\widehat{BDF}=\widehat{EDC}[/tex] để chứng minh hai tam giác đồng dạng thì mk có thể sử dụng [tex]\widehat{BFD}=\widehat{CED}[/tex] được không ạ. Và tại sao [tex]\widehat{BFD}=\widehat{CED}[/tex] vậy ạ?
Giúp em với nhé

 

[vangiang124]

Cho em hỏi là nếu ko sử dụng [tex]\widehat{BDF}=\widehat{EDC}[/tex] để chứng minh hai tam giác đồng dạng thì mk có thể sử dụng [tex]\widehat{BFD}=\widehat{CED}[/tex] được không ạ. Và tại sao [tex]\widehat{BFD}=\widehat{CED}[/tex] vậy ạ?
Giúp em với nhé

Được nha em ơi, có $\widehat{CED}=\widehat{CMD}$ do góc nội tiếp cùng chắn cung $DC$

mà $\widehat{CMD}$ là góc ngoài của tứ giác nội tiếp $FBMD$

góc ngoài của tứ giác nội tiếp bằng góc trong không kề với nó nên $\widehat{BFD}=\widehat{CMD}$

vậy $\widehat{BFD}=\widehat{CED}$

Sorry em hqua vẽ hình xong quăng mất tiêu giờ vẽ lại khùng lun nên rep em hơi muộn, chúc em ngủ ngon nhen